Давайте решим задачу по шагам, чтобы найти собственную скорость катера и скорость течения реки.
Обозначения:
- ( v ) — собственная скорость катера (в км/ч),
- ( u ) — скорость течения реки (в км/ч),
- Расстояние между базами — ( D = 60 ) км.
Из условия:
- Катер за 2 часа проходит расстояние по течению.
- Катер за 3 часа — против течения.
Поскольку скорость по течению увеличивается на скорость течения, а против течения — уменьшается, то:
- Скорость катера по течению: ( v + u ),
- Скорость против течения: ( v - u ).
Запишем уравнения для расстояний:
По течению:
[
(v + u) \times 2 = 60,
]
откуда:
[
v + u = \frac{60}{2} = 30.
]
Против течения:
[
(v - u) \times 3 = 60,
]
откуда:
[
v - u = \frac{60}{3} = 20.
]
Теперь у нас есть система уравнений:
[
\begin{cases}
v + u = 30, \
v - u = 20.
\end{cases}
]
Решаем её сложением:
[
(v + u) + (v - u) = 30 + 20,
]
[
2v = 50,
]
откуда:
[
v = 25 \text{ км/ч}.
]
Подставим значение ( v ) в одно из уравнений:
[
25 + u = 30,
]
[
u = 5 \text{ км/ч}.
]
Ответ:
- Собственная скорость катера: (\boxed{25 \text{ км/ч}}),
- Скорость течения реки: (\boxed{5 \text{ км/ч}}).
