Давайте разберемся с задачей поэтапно.
Дано:
- Треугольник ( ABC ), вписанный в окружность радиуса ( R = 4\sqrt{3} ).
- Угол ( C ) равен ( 60^\circ ).
- Нужно найти сторону ( AB ), которая обычно обозначается как ( c ).
Шаг 1. Связь между вписанным углом и дугой
Поскольку ( C ) — это внутренний угол треугольника, то он равен половине measure дуги, которая ему противостоящая.
То есть, дуга, соответствующая углу ( C ), составляет ( 2 \times 60^\circ = 120^\circ ).
Обозначим:
- дуга против стороны ( c ) (третья сторона, расположенная напротив угла ( C )) — это дуга длиной ( 120^\circ ).
Шаг 2. Формулы для угла, вписанного в окружность
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Длина дуги в окружности с радиусом ( R ) связана с центральным углом ( \theta ) (в радианах) через формулу:
[
L = R \times \theta
]
где ( \theta ) — центральный угол в радианах.
Шаг 3. Связь стороны и дуги
Сторона ( c ) — это длина хорды, которая соответствует дуге в ( 120^\circ ).
Формула длины хорды в окружности:
[
c = 2 R \sin\left(\frac{\text{дуга}}{2}\right)
]
где дуга у нас составляет ( 120^\circ ), то есть:
[
c = 2 R \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 2 R \sin(60^\circ)
]
Шаг 4. Подставляем значения
- ( R = 4 \sqrt{3} ),
- ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Значит,
[
c = 2 \times 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Упростим:
[
c = 2 \times 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Сначала сократим 2 и 2:
[
c = 4 \sqrt{3} \times \sqrt{3}
]
Помним, что ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 ), тогда:
[
c = 4 \times 3 = 12
]
Ответ:
Длина стороны ( AB ) (стороны ( c )) равна (\boxed{12}).
