Давайте подробно решим задачу пошагово.
Задача:
Мячик упал с высоты 1 м. Каждый раз, отскакивая, он поднимается вверх на высоту, которая вдвое меньше предыдущей, и затем падает обратно на ту же высоту. Нужно найти общее пройденное расстояние к моменту, когда мяч перестанет двигаться.
Шаг 1. Анализ ситуации
- Начальная высота падения: ( h_0 = 1,м ).
- При каждом отскоке высота подъема: ( h_{n} = \frac{1}{2} h_{n-1} ).
Общее движение происходит по следующей схеме:
- Мяч падает со стартовой высоты (,1,м).
- После удара о землю он отскакивает вверх на высоту (,h_1 = 0.5,м).
- Затем падает вниз опять на землю (на высоту, с которой подпрыгнул).
Это повторяется бесконечно, но расстояние становится всё меньше и меньше, и в теории оно суммируется.
Шаг 2. Обозначение
Обозначим:
- Итоговое расстояние, которое пройдет мяч — ( S ).
Мяч сначала падает с высоты (1,м). После этого:
- Он поднимается вверх на высоту (h_1 = 0.5,м),
- затем падает обратно на землю,
- затем поднимается на (h_2 = 0.25,м),
- падает и так далее.
Каждый прыжок и падение, кроме первого падения, — это парные движения: вверх и вниз.
Шаг 3. Расчет расстояния
Общее расстояние:
[
S = \text{падение с высоты 1 м} + \text{восхождение} + \text{падение} + \text{восхождение} + \text{падение} + \dots
]
Первые действия:
- Падение с высоты (1,м): (1,м).
- Восхождение на (0.5,м).
- Следующее падение на (0.5,м).
- Восхождение на (0.25,м), и так далее.
Общая схема — это сумма:
[
S = 1 + 2 \times (h_1 + h_2 + h_3 + \dots)
]
Почему так?
Поскольку после первого падения мяч поднимается на (h_1), потом падает. Потом снова поднимается на (h_2), падает, и так далее. Каждая высота подпрыгивания учитывается дважды: один раз при подъеме и один раз при падении (кроме начального падения, которое считается отдельно).
Шаг 4. Вычисление суммы геометрической прогрессии
Высоты:
[
h_1 = 0.5,м, \quad h_2 = 0.25,м, \quad h_3 = 0.125,м, \dots
]
Общая сумма высот подпрыгиваний после первого падения — это геометрическая прогрессия с первым членом (a = 0.5) и отношением (q = 0.5):
[
h_{\text{total}} = h_1 + h_2 + h_3 + \dots = \frac{0.5}{1 - 0.5} = 1,м
]
Шаг 5. Итоговая сумма пути
Полное расстояние:
[
S = 1,м + 2 \times (h_1 + h_2 + h_3 + \dots) = 1 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3,м
]
Ответ:
[
\boxed{3,м}
]
Мячик пройдёт в общей сложности 3 метра до момента, когда его движение станет очень маленьким и можно считать, что он остановился.
