3. Маленький упругий мячик упал на горизонтальную твёрдую поверхность с высоты 1 м. При каждом падении он подпрыгивает на высоту, которая вдвое меньше предыдущей. Найдите общее…

Давайте подробно решим задачу пошагово.

Задача:
Мячик упал с высоты 1 м. Каждый раз, отскакивая, он поднимается вверх на высоту, которая вдвое меньше предыдущей, и затем падает обратно на ту же высоту. Нужно найти общее пройденное расстояние к моменту, когда мяч перестанет двигаться.

Шаг 1. Анализ ситуации

• Начальная высота падения: \( h_0 = 1\,м \).
• При каждом отскоке высота подъема: \( h_{n} = \frac{1}{2} h_{n-1} \).

Общее движение происходит по следующей схеме:

1. Мяч падает со стартовой высоты \(\,1\,м\).
2. После удара о землю он отскакивает вверх на высоту \(\,h_1 = 0.5\,м\).
3. Затем падает вниз опять на землю (на высоту, с которой подпрыгнул).

Это повторяется бесконечно, но расстояние становится всё меньше и меньше, и в теории оно суммируется.

Шаг 2. Обозначение

Обозначим:

• Итоговое расстояние, которое пройдет мяч — \( S \).

Мяч сначала падает с высоты \(1\,м\). После этого:

• Он поднимается вверх на высоту \(h_1 = 0.5\,м\),
• затем падает обратно на землю,
• затем поднимается на \(h_2 = 0.25\,м\),
• падает и так далее.

Каждый прыжок и падение, кроме первого падения, — это парные движения: вверх и вниз.

Шаг 3. Расчет расстояния

Общее расстояние:

\[ S = \text{падение с высоты 1 м} + \text{восхождение} + \text{падение} + \text{восхождение} + \text{падение} + \dots \]

Первые действия:

• Падение с высоты \(1\,м\): \(1\,м\).
• Восхождение на \(0.5\,м\).
• Следующее падение на \(0.5\,м\).
• Восхождение на \(0.25\,м\), и так далее.

Общая схема — это сумма:

\[ S = 1 + 2 \times (h_1 + h_2 + h_3 + \dots) \]

Почему так?
Поскольку после первого падения мяч поднимается на \(h_1\), потом падает. Потом снова поднимается на \(h_2\), падает, и так далее. Каждая высота подпрыгивания учитывается дважды: один раз при подъеме и один раз при падении (кроме начального падения, которое считается отдельно).

Шаг 4. Вычисление суммы геометрической прогрессии

Высоты: \[ h_1 = 0.5\,м, \quad h_2 = 0.25\,м, \quad h_3 = 0.125\,м, \dots \]

Общая сумма высот подпрыгиваний после первого падения — это геометрическая прогрессия с первым членом \(a = 0.5\) и отношением \(q = 0.5\):

\[ h_{\text{total}} = h_1 + h_2 + h_3 + \dots = \frac{0.5}{1 - 0.5} = 1\,м \]

Шаг 5. Итоговая сумма пути

Полное расстояние:

\[ S = 1\,м + 2 \times (h_1 + h_2 + h_3 + \dots) = 1 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3\,м \]

Ответ:

\[ \boxed{3\,м} \]

Мячик пройдёт в общей сложности 3 метра до момента, когда его движение станет очень маленьким и можно считать, что он остановился.