Решите задачу по геометрии. Чему равен центральный угол, если соответствующий ему вписанный угол равен 42°?

Дано: вписанный угол, равный 42°, и нужно найти соответствующий ему центральный угол.

Вспомним важные теоремы:

• В окружности вписанный угол равен половине дуги, на которой он основан.
• Центр окружности и вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу, связаны тем, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу.

Решение:

1. Пусть дуга, на которую опирается вписанный угол, составляет часть окружности.
2. Вписанный угол \( \angle EOF \) равен половине дуги \( \overset{\frown}{EF} \): \[ \angle EOF = \frac{1}{2} \overset{\frown}{EF} \] Отсюда: \[ \overset{\frown}{EF} = 2 \times 42^\circ = 84^\circ \]
3. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен длине дуги, выраженной через градусы. Тогда: \[ \angle FOE = \overset{\frown}{EF} = 84^\circ \]

Итог:

Центральный угол, соответствующий вписанному углу 42°, равен 84°.

Ответ: 84°