x+2 x−2a + x−a x−1 =1
Конечно! Давайте разберем данное уравнение пошагово и подробно:
Дано уравнение:
\[ \frac{x + 2}{x - 2a} + \frac{x - a}{x - 1} = 1 \]
Шаг 1. Анализ уравнения
Уравнение состоит из двух дробей, сложенных и приравненных к 1. Чтобы решить его, удобно привести левую часть к общему знаменателю и упростить выражение.
Шаг 2. Найти общий знаменатель
Общий знаменатель — это произведение всех уникальных знаменателей:
\[ (x - 2a) \cdot (x - 1) \]
Шаг 3. Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на общий знаменатель:
\[ [(x + 2) \cdot (x - 1)] + [(x - a) \cdot (x - 2a)] = (x - 2a)(x - 1) \]
Это даст:
\[ (x + 2)(x - 1) + (x - a)(x - 2a) = (x - 2a)(x - 1) \]
Шаг 4. Раскрытие скобок
Раскроем первые два выражения:
- \((x + 2)(x - 1)\):
\[ x \cdot x + x \cdot (-1) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2 \]
- \((x - a)(x - 2a)\):
\[ x \cdot x + x \cdot (-2a) - a \cdot x + (-a) \cdot (-2a) = x^2 - 2ax - a x + 2a^2 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ x^2 - 2ax - a x + 2a^2 = x^2 - (2a + a) x + 2a^2 = x^2 - 3a x + 2a^2 \]
Раскроем правую часть:
\((x - 2a)(x - 1)\):
\[ x \cdot x + x \cdot (-1) - 2a \cdot x + (-2a) \cdot (-1) = x^2 - x - 2a x + 2a \]
Шаг 5. Запишем полученное уравнение
Теперь у нас есть:
\[ x^2 + x - 2 + x^2 - 3a x + 2a^2 = x^2 - x - 2a x + 2a \]
Шаг 6. Собрать все члены в одну часть уравнения и упростить
Перенесем все члены на левую сторону:
\[ (x^2 + x - 2) + (x^2 - 3a x + 2a^2) - (x^2 - x - 2a x + 2a) = 0 \]
Раскроем скобки с учетом знаков минус:
\[ x^2 + x - 2 + x^2 - 3a x + 2a^2 - x^2 + x + 2a x - 2a = 0 \]
Объединим подобные члены:
- \(x^2\) и \(-x^2\) — сокративаются: \(x^2 - x^2 = 0\)
- \(x + x = 2x\)
- \(-3a x + 2a x = -a x\)
- Свободные члены: \(-2 + 2a^2 - 2a\)
Итак, получаем:
\[ 0 + 2x - a x + (-2 + 2a^2 - 2a ) = 0 \]
или
\[ (2x - a x) + (-2 + 2a^2 - 2a) = 0 \]
Выделим \(x\):
\[ x (2 - a) + (-2 + 2a^2 - 2a) = 0 \]
Шаг 7. Решение уравнения относительно \(x\)
Перенесем свободный член на другую сторону и выразим \(x\):
\[ x (2 - a) = 2 - 2a^2 + 2a \]
Если \(2 - a \neq 0\), то
\[ x = \frac{2 - 2a^2 + 2a}{2 - a} \]
Можно упростить числитель:
\[ 2 - 2a^2 + 2a = 2(1 - a^2 + a) \]
Обратим внимание, что \(1 - a^2 + a\) — квадратичное выражение относительно \(a\). Можно оставить как есть или попытаться упростить.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x = \frac{2(1 - a^2 + a)}{2 - a} } \]
Особое случай:
Если \(2 - a = 0 \Rightarrow a = 2\), то вызывать деление на ноль нельзя, и нужно проверить исходное уравнение для этого значения.
Проверка для \(a=2\):
Подставим \(a=2\) в исходное уравнение:
\[ \frac{x+2}{x - 4} + \frac{x - 2}{x - 1} = 1 \]
Обратите внимание, что здесь имеется деление на \(x-4\) и \(x-1\), а никаких ограничений на \(x\) кроме этого. Решение при \(a=2\) нужно проверить отдельно, подставив и решив уравнение.
Итодар:
Общее решение для \(x\):
\[ \boxed{ x = \frac{2(1 - a^2 + a)}{2 - a} } \]
при условии, что \(a \neq 2\).
Если нужно — помогу решить для конкретных значений \(a\) или проверить случай \(a=2\)!
