Задача: В классе 19 учеников нужно выбрать 11 для участия в эстафете. Сколько способов это сделать?
Это задача на сочетания, так как порядок выбора учеников не важен.
Количество способов выбрать 11 учеников из 19 можно найти по формуле сочетаний:
[
C_{19}^{11} = \frac{19!}{11! \times (19 - 11)!} = \frac{19!}{11! \times 8!}
]
Шаги решения:
- Записать формулу:
[
C_{19}^{11} = \frac{19!}{11! \times 8!}
]
- Рассчитать числитель и знаменатель:
- 19! — произведение всех чисел от 1 до 19
- 11! — произведение всех чисел от 1 до 11
- 8! — произведение всех чисел от 1 до 8
- Упростить выражение:
Обратите внимание, что:
[
\frac{19!}{11! \times 8!} = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11!}{11! \times 8!}
]
Здесь 11! сокращается, и остается:
[
C_{19}^{11} = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{8!}
]
- Вычислить числитель:
- 19 × 18 = 342
- 342 × 17 = 5814
- 5814 × 16 = 93024
- 93024 × 15 = 1,395,360
- 1,395,360 × 14 = 19,535,040
- 19,535,040 × 13 = 254,055,520
- 254,055,520 × 12 = 3,048,666,240
Числитель равен 3,048,666,240.
- Вычислить 8!:
[
8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40,320
]
- Рассчитать итог:
[
C_{19}^{11} = \frac{3,048,666,240}{40,320} \approx 75,287
]
Итог:
Количество способов выбрать 11 учеников из 19 — 75,287.
Если нужно, я могу дать более точное числовое значение или объяснение.
