Четырёхугольник  M N K L MNKL вписан в окружность. Угол  M N L MNL равен  2 3 ∘ 23 ∘ , угол  K M L KML равен  6 4 ∘ 64 ∘ . Найди угол  M N K MNK. Ответ дай в градусах.

Давайте разберёмся с данной задачей по шагам. ### Дано: - Четырёхугольник \( MNKL \) вписан в окружность, значит противоположные углы этого четырёхугольника суммируются до 180°. - Угол \( NLM \) (угол при вершине \( L \), образованный сторонами \( NL \) и \( ML \)) равен \( 23^\circ \). - Угол \( KML \) (угол при вершине \( M \), образованный сторонами \( KM \) и \( LM \)) равен \( 64^\circ \). - Надо найти угол \( MNK \). Обозначения: - \( \angle NLM = 23^\circ \) - \( \angle KML = 64^\circ \) ### Шаг 1: Анализ данных Обратите внимание, что: - Угол \( NLM \) — это угол при вершине \( L \). - Угол \( KML \) — это угол при вершине \( M \). Нам необходимо найти угол \( MNK \), то есть угол при вершине \( N \), образованный точками \( M \) и \( K \). ### Шаг 2: Построение и использование свойств вписанных уголков Из условий: - Четырёхугольник \( MNKL \) вписан в окружность. - Углы, связанные с вершинами, можно связать с дугами окружности. Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, - сумма противоположных углов равна 180°: \[ \angle MNL + \angle MKL = 180^\circ \] и \[ \angle NKM + \angle NLM = 180^\circ \] Но эти углы требуют более точного понимания, каких именно углов их касаются. ### Шаг 3: Нахождение другого угла при вершине \( L \) Положение углов. - \( \angle NLM = 23^\circ \): угол при \( L \). - \( \angle KML = 64^\circ \): угол при \( M \). Чтобы найти угол \( MNK \) (при вершине \( N \)), нужно понять, как эти углы связаны. Обратимся к свойствам: - Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Углы \( NLM \) и \( KML \) — это углы при вершинах \( L \) и \( M \), соответственно. Запимем: - \( \angle NLM = \frac{1}{2} \) дуги, противоположной \( L \), - \( \angle KML = \frac{1}{2} \) дуги, противоположной \( M \). ### Шаг 4: Связь дуг и углов Пусть дуги, соответствующие этим углам, называются: - дуга \( NB \), противоположная углу \( NLM \), - дуга \( AB \), противоположная углу \( KML \). Нам нужны дуги, чтобы определить искомый угол \( MNK \). ### Шаг 5: Попытка определить нужные дуги Допустим, найти дугу, на которую опираются углы \( NLM \) и \( KML \). - Угол \( NLM \) — это полукруг, или дуга, на противоположной стороне \( L \). - Аналогично для \( KML \). Построим основание следующим образом: - дуга \( LM \) связана с углом \( NLM \), - дуга \( KM \) — с углом \( KML \). Поскольку углы \( 23^\circ \) и \( 64^\circ \) связаны с одним и тем же окружностью, соотнесем их с дугами. ### Шаг 6: Используем свойства вписанных углов - Угол \( NLM \) — вписанный угол, опирающийся на дугу, противоположную \( L \), - Угол \( KML \) — вписанный угол, опирающийся на дугу, противоположную \( M \). Обеспечивая, что выделенные дуги связаны через эти углы, возвращаемся к исходному вопросу. ### Итоговое решение: Рассмотрим, что искомый угол \( MNK \) — это угол при \( N \), который образован точками \( M \) и \( K \). Зная углы при вершинах \( L \) и \( M \), можем найти дуги, и, следовательно, угол при \( N \). Итак, связывая углы: - \( \angle NLM = 23^\circ \), - \( \angle KML = 64^\circ \). Поскольку \( M \) — вершина угла \( KML \) и \( L \), эти углы образуют дуги. Итоговая формула для угла \( MNK \): \[ \boxed{ \text{угол } MNK = 180^\circ - (\angle NLM + \angle KML) = 180^\circ - (23^\circ + 64^\circ) = 180^\circ - 87^\circ = 93^\circ } \] ### **Ответ:** **93°** --- Если нужно более точное решение или объяснение, могу дополнительно разобрать, как именно связаны эти дуги и углы.