Рассмотрим данную задачу по шагам.
Обозначения:
- Пусть скорость велосипедиста — ( v_в ) (км/ч).
- Пусть скорость пешехода — ( v_п ) (км/ч).
Из условия:
Общее расстояние между пунктами A и B — обозначим его как ( S ) (км).
Когда велосипедист и пешеход встретились, пешеход прошел две пятнадцатых пути (то есть часть общего пути ( S )):
[
\text{Пешеход прошел} = \frac{2}{15} S
]
Пешеход шел со скоростью ( v_п ) и прошел ( \frac{2}{15} S ), значит время их встречи — одинаково для обоих двигателей:
[
t = \frac{\text{расстояние пешехода}}{v_п} = \frac{\frac{2}{15} S}{v_п}
]
За это время велосипедист прошел всю свою часть пути (так как они начали одновременно и встретились в одной точке):
[
v_в t = v_в \times \frac{\frac{2}{15} S}{v_п}
]
Общее расстояние, которое прошел велосипедист, равно:
[
\text{расстояние велосипедиста} = v_в t = v_в \times \frac{\frac{2}{15} S}{v_п}
]
Обратите внимание, что оба начали одновременно и с противоположных концов. Их суммарное пройденное расстояние в момент встречи — это всё расстояние между A и B, то есть:
[
\text{расстояние велосипедиста} + \text{расстояние пешехода} = S
]
Подставим:
[
v_в \times \frac{\frac{2}{15} S}{v_п} + \frac{2}{15} S = S
]
Раскроем скобки:
[
\frac{v_в}{v_п} \times \frac{2}{15} S + \frac{2}{15} S = S
]
Вынесем ( \frac{2}{15} S ):
[
\left(\frac{v_в}{v_п} + 1\right) \times \frac{2}{15} S = S
]
Разделим обе части уравнения на ( S ):
[
\left(\frac{v_в}{v_п} + 1\right) \times \frac{2}{15} = 1
]
Теперь выразим ( \frac{v_в}{v_п} ):
[
\frac{v_в}{v_п} + 1 = \frac{15}{2}
]
[
\frac{v_в}{v_п} = \frac{15}{2} - 1 = \frac{15}{2} - \frac{2}{2} = \frac{13}{2}
]
Помним, что:
[
v_п = v_в - 22
]
Следовательно:
[
\frac{v_в}{v_в - 22} = \frac{13}{2}
]
Перемножим обе части на ( v_в - 22 ):
[
v_в = \frac{13}{2} (v_в - 22)
]
Раскроем скобки:
[
v_в = \frac{13}{2} v_в - \frac{13}{2} \times 22
]
Вычислим ( \frac{13}{2} \times 22 ):
[
\frac{13}{2} \times 22 = 13 \times 11 = 143
]
Теперь уравнение выглядит так:
[
v_в = \frac{13}{2} v_в - 143
]
Перенесем все в одну сторону:
[
v_в - \frac{13}{2} v_в = -143
]
Обратим внимание, что:
[
v_в - \frac{13}{2} v_в = \left( 1 - \frac{13}{2} \right) v_в = \left( \frac{2}{2} - \frac{13}{2} \right) v_в = -\frac{11}{2} v_в
]
Значит:
[
-\frac{11}{2} v_в = -143
]
Умножим обе части на (-1):
[
\frac{11}{2} v_в = 143
]
Исключим дробь:
[
11 v_в = 2 \times 143 = 286
]
Отсюда:
[
v_в = \frac{286}{11} = 26 \text{ км/ч}
]
Теперь найдем скорость пешехода:
[
v_п = v_в - 22 = 26 - 22 = 4 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость пешехода — 4 км/ч.
