Задумали нечетное трехзначное число, которое меньше 500 и делится на 17. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 198 какое…
Задумали нечетное трехзначное число, которое меньше 500 и делится на 17. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 198 какое число было задумано
Давайте решим задачу пошагово и подробно, чтобы понять каждый этап.
Условие:
- Задумано нечетное трехзначное число \( N \).
- Число меньше 500.
- Число делится на 17.
- Из этого числа вычли число, которое получено теми же цифрами в обратном порядке.
- В результате получили число 198.
- Нужно найти исходное число \( N \).
Шаг 1: Обозначения
Обозначим число \( N \) через его цифры. Пусть:
- первая цифра — \( a \)
- вторая цифра — \( b \)
- третья цифра — \( c \)
Тогда: \[ N = 100a + 10b + c \]
Так как число трехзначное и меньше 500, то: \[ a \in \{1, 2, 3, 4\} \]
Также, число нечетное, значит его последняя цифра \( c \) — нечетная: \[ c \in \{1, 3, 5, 7, 9\} \]
Шаг 2: Обратное число
Обратное число \( M \) — число, составленное теми же цифрами в обратном порядке: \[ M = 100c + 10b + a \]
Шаг 3: Условие уравнения
Из числа \( N \) вычли число с обратными цифрами \( M \), и получили 198: \[ N - M = 198 \] Подставим выражения для \( N \) и \( M \): \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 198 \]
Шаг 4: Упростим выражение
Вычитание: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 198 \] Объединим похожие члены: \[ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 198 \]
Это упрощается до: \[ 99a - 99c = 198 \]
Или: \[ 99(a - c) = 198 \] Поделим обе стороны на 99: \[ a - c = 2 \]
Шаг 5: Анализ условий
Получили уравнение: \[ a - c = 2 \]
Из условий:
- \( a \in \{1, 2, 3, 4\} \)
- \( c \in \{1, 3, 5, 7, 9\} \), при этом \( c \) — нечетное
Подставим значения \( a \) и найдем соответствующие \( c \):
Если \( a = 1 \): \[ 1 - c = 2 \implies c = -1 \quad \text{(нельзя, так как цифра должна быть положительной)} \]
Если \( a = 2 \): \[ 2 - c = 2 \implies c = 0 \quad \text{(не подходит, так как \( c \) — нечетная цифра)} \]
Если \( a = 3 \): \[ 3 - c = 2 \implies c = 1 \] Проверим — \( c = 1 \) — допустимо, нечетная цифра.
Также, число \( N \) нечетное, и это соответствует условию.Если \( a = 4 \): \[ 4 - c = 2 \implies c = 2 \quad \text{(не подходит, так как цифра должна быть нечетной)} \]
Итак, подходящее сочетание:
\[
a = 3, \quad c = 1
\]
Шаг 6: Поиск \( b \)
Цифра \( b \) может быть любой, так как она не участвует в уравнении, полученном из задачи.
Значит, число \( N \) — это: \[ N = 100 \times 3 + 10b + 1 = 300 + 10b + 1 = 301 + 10b \]
Параметр \( b \) — любой цифра от 0 до 9.
Шаг 7: Проверка условий
\( N < 500 \):
\[ 301 + 10b < 500 \implies 10b < 199 \implies b \leq 19.9 \] Так как \( b \) — цифра, \( b \in \{0, 1, ..., 9\} \). Все подходит.Посмотрим на остальные условия.
Число \( N \) нечетное. Оно нечетное, так как \( c = 1 \), последняя цифра — нечетная, значит \( N \) нечетное.
Шаг 8: Проверка уравнения
Выразим \( M \): \[ M = 100c + 10b + a = 100 \times 1 + 10b + 3 = 100 + 10b + 3 = 103 + 10b \]
Проверим: \[ N - M = (301 + 10b) - (103 + 10b) = 198 \] что верно для любого \( b \).
Ответ:
Все подходящие числа \( N \) имеют вид: \[ \boxed{N = 301 + 10b, \quad \text{где } b=0,1,2,\ldots,9} \] И конкретный пример:
- При \( b=0 \), \( N=301 \)
- При \( b=1 \), \( N=311 \)
- При \( b=2 \), \( N=321 \)
- и так далее.
Итог:
Задуманное число — это любое число вида \( 301 + 10b \), где \( b = 0,1,2,\ldots,9 \). В конкретной задаче можно указать, например, \( \boxed{301} \).
Если нужно одно конкретное число — возьмем минимальное, это 301.
