Цените длину конуса тени, который отбрасывается Землёй, освещаемой Солнцем. Радиус Земли равен 6 370 км, а радиус Солнца – в 108 раз больше. Расстояние между центрами Солнца и Земли равно 149 млн км.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все вычисления. **Дано:** - Радиус Земли \( R_{З} = 6370\, \text{км} \) - Радиус Солнца \( R_{С} = 108 \times R_{З} = 108 \times 6370\, \text{км} \) - Расстояние между центрами Земли и Солнца \( D = 149\,000\,000\, \text{км} \) Задача: определить длину конуса тени Земли, т.е. длину внешней части тени, образуемой Землёй при освещении Солнцем, или, иными словами, размер "слепой" части, которая расширяется за Землёй. --- ### 1. Визуальное представление задачи Когда Солнце освещает Землю, оно создает тень. Тень Земли — это конусообразная фигура, начинающаяся в центре Земли и расширяющаяся навстречу Солнцу. Вопрос — насколько большой радиус этой тени в конце, в точке, где она исчезает. Задача сводится к определению "затухания" тени — то есть поиска радиуса конуса тени на некотором расстоянии за Землёй, где свет уже не достигает. --- ### 2. Модель задачи - Пусть на оси находится Земля с радиусом \( R_{З} \). - За Землей, на расстоянии \( D \), находится Солнце с радиусом \( R_{С} \). Образуется подобие треугольников: - Один — от центра Солнца до его края (радиус \( R_{С} \)), - Второй — от центра Земли до края тени на некотором расстоянии \( x \), с радиусом \( r \). Нам нужно найти радиус \( r \) на расстоянии \( x \), где \( x \) — длина конуса тени (на крайней точке, где тень исчезает — то есть, точка, в которой конус встречается с «бесконечностью» или заданным выше расстоянием). --- ### 3. Построение и решение задачи с помощью подобия треугольников Учитываем, что радиус тени \( r \) в точке, находящейся на расстоянии \( x \) за Землёй: \[ \frac{R_{С}}{D} = \frac{r}{x} \] Отсюда: \[ r = \frac{R_{С}}{D} \times x \] Но есть важный момент: чтобы определить длину конуса тени — т.е. насколько большим будет радиус \( r \) в конце — нужно понять, где именно эта точка. Если нас интересует **длина аппроксимируемого конуса тени**, то есть расстояние, на котором радиус тени расширится до определённого размера, — то это зависит от положения "затухания" тени за Землёй. Однако, в классической астрономической задаче при полном освещении — тень Земли расширяется, а её длина зависит от соотношения радиусов и расстояний. **Но есть более стандартная и точная формула, которая берёт в расчет «затухание» тени Земли (слепой зоны):** \[ L = D \times \frac{R_{З}}{R_{С} - R_{З}} \] Это — длина полной тени (степень расширения). --- ### 4. Расчёты Подставим данные: \[ R_{С} = 108 \times 6370\, \text{км} = 687,960\, \text{км} \] \[ R_{З} = 6370\, \text{км} \] \[ D = 149\,000\,000\, \text{км} \] Рассчитаем длину тени: \[ L = D \times \frac{R_{З}}{R_{С} - R_{З}} \] \[ L = 149\,000\,000 \times \frac{6370}{687,960 - 6370} \] Вычислим знаменатель: \[ 687,960 - 6370 = 681,590 \] Теперь: \[ L = 149\,000\,000 \times \frac{6370}{681,590} \] Вычислим дробь: \[ \frac{6370}{681,590} \approx 0.00934 \] Теперь умножим: \[ L \approx 149\,000\,000 \times 0.00934 \approx 1\,392\,000\, \text{км} \] --- ### **Ответ:** Длина конуса тени, который отбрасывается Землёй при освещении Солнцем, составляет примерно **1,39 миллиона километров**. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно рассмотреть конкретные части решения подробнее — скажите!