В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 мест, а в шестом ряду 24 места. Сколько всего мест в…

Давайте разберёмся с задачей по шагам и подробно объясним решение.

Дано:

• В амфитеатре 15 рядов.
• В каждом следующем ряду number of seats увеличивается на одно и то же число по сравнению с предыдущим.
• В 3-м ряду — 12 мест.
• В 6-м ряду — 24 места.

Нам нужно найти общее количество мест во всех 15 рядах.

Шаг 1: Обозначения и понятия

Обозначим:

• a — число мест в первом ряду.
• d — разница между количеством мест в последовательных рядах (насколько увеличивается число мест от ряда к ряду).

Тогда:

• в первом ряду: a мест,
• в втором: a + d,
• в третьем: a + 2d,
• ...
• в n-м: a + (n-1)d.

Шаг 2: Используем данные о третьем и шестом рядах

По условию:

• в 3-м ряду: a + 2d = 12,
• в 6-м ряду: a + 5d = 24.

Выразим a из первого уравнения: \[ a + 2d = 12 \implies a = 12 - 2d. \]

Подставим a во второе уравнение: \[ (12 - 2d) + 5d = 24, \] \[ 12 + 3d = 24, \] \[ 3d = 12, \] \[ d = 4. \]

Теперь найдем a: \[ a = 12 - 2 \times 4 = 12 - 8 = 4. \]

Итак:

• В первом ряду — 4 места,
• разница увеличения — 4 места.

Шаг 3: Запишем формулу для количества мест в каждом ряду

Количество мест в n-м ряду: \[ a_n = a + (n-1)d = 4 + (n-1) \times 4. \]

Шаг 4: Найдём сумму всех мест

Всего рядов 15. Тогда сумма: \[ S_{15} = \sum_{n=1}^{15} a_n = \sum_{n=1}^{15} [4 + (n-1) \times 4]. \]

Перепишем сумму: \[ S_{15} = \sum_{n=1}^{15} 4 + \sum_{n=1}^{15} (n-1) \times 4. \]

Первый суммируется просто: \[ \sum_{n=1}^{15} 4 = 15 \times 4 = 60. \]

Второй — это сумма арифметической прогрессии: \[ \sum_{n=1}^{15} (n-1) = \sum_{k=0}^{14} k, \] где мы заменили n-1 на k: \[ \sum_{k=0}^{14} k = \frac{14 \times 15}{2} = 105. \]

Таким образом: \[ \sum_{n=1}^{15} (n-1) \times 4 = 4 \times 105 = 420. \]

Общая сумма: \[ S_{15} = 60 + 420 = 480. \]

Ответ:

Всего в амфитеатре 480 мест.

Если есть вопросы — спрашивайте!