Давайте разберёмся с задачей по шагам и подробно объясним решение.
Дано:
- В амфитеатре 15 рядов.
- В каждом следующем ряду number of seats увеличивается на одно и то же число по сравнению с предыдущим.
- В 3-м ряду — 12 мест.
- В 6-м ряду — 24 места.
Нам нужно найти общее количество мест во всех 15 рядах.
Шаг 1: Обозначения и понятия
Обозначим:
- a — число мест в первом ряду.
- d — разница между количеством мест в последовательных рядах (насколько увеличивается число мест от ряда к ряду).
Тогда:
- в первом ряду: a мест,
- в втором: a + d,
- в третьем: a + 2d,
- ...
- в n-м: a + (n-1)d.
Шаг 2: Используем данные о третьем и шестом рядах
По условию:
- в 3-м ряду: a + 2d = 12,
- в 6-м ряду: a + 5d = 24.
Выразим a из первого уравнения:
[
a + 2d = 12 \implies a = 12 - 2d.
]
Подставим a во второе уравнение:
[
(12 - 2d) + 5d = 24,
]
[
12 + 3d = 24,
]
[
3d = 12,
]
[
d = 4.
]
Теперь найдем a:
[
a = 12 - 2 \times 4 = 12 - 8 = 4.
]
Итак:
- В первом ряду — 4 места,
- разница увеличения — 4 места.
Шаг 3: Запишем формулу для количества мест в каждом ряду
Количество мест в n-м ряду:
[
a_n = a + (n-1)d = 4 + (n-1) \times 4.
]
Шаг 4: Найдём сумму всех мест
Всего рядов 15. Тогда сумма:
[
S_{15} = \sum_{n=1}^{15} a_n = \sum_{n=1}^{15} [4 + (n-1) \times 4].
]
Перепишем сумму:
[
S_{15} = \sum_{n=1}^{15} 4 + \sum_{n=1}^{15} (n-1) \times 4.
]
Первый суммируется просто:
[
\sum_{n=1}^{15} 4 = 15 \times 4 = 60.
]
Второй — это сумма арифметической прогрессии:
[
\sum_{n=1}^{15} (n-1) = \sum_{k=0}^{14} k,
]
где мы заменили n-1 на k:
[
\sum_{k=0}^{14} k = \frac{14 \times 15}{2} = 105.
]
Таким образом:
[
\sum_{n=1}^{15} (n-1) \times 4 = 4 \times 105 = 420.
]
Общая сумма:
[
S_{15} = 60 + 420 = 480.
]
Ответ:
Всего в амфитеатре 480 мест.
Если есть вопросы — спрашивайте!
