Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Распределение случайной величины (X) — нормальное, (X \sim N(\mu, \sigma^2)).
- Математическое ожидание (E[X] = \mu = 10).
- Дисперсия (D[X] = \sigma^2 = 4), значит стандартное отклонение (\sigma = \sqrt{4} = 2).
Задача: найти вероятность (P(12 < X < 14)).
Шаг 1: Перевод в стандартную нормальную величину
Выразим вероятность через стандартное нормальное распределение (Z \sim N(0,1)):
[
P(12 < X < 14) = P\left(\frac{12 - \mu}{\sigma} < Z < \frac{14 - \mu}{\sigma}\right)
]
Подставим значения (\mu = 10) и (\sigma = 2):
[
P\left(\frac{12 - 10}{2} < Z < \frac{14 - 10}{2}\right) = P(1 < Z < 2)
]
Шаг 2: Найти (P(1 < Z < 2))
Это разность двух вероятностей:
[
P(1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(1)
]
где (\Phi(z)) — функция распределения стандартного нормального закона.
Шаг 3: Значения функции (\Phi(z))
Из таблицы стандартного нормального:
- (\Phi(1) \approx 0.8413)
- (\Phi(2) \approx 0.9772)
Шаг 4: Вычисление вероятности
[
P(12 < X < 14) = 0.9772 - 0.8413 = 0.1359
]
Ответ:
[
\boxed{0.136}
]
(Округлено до тысячных).
Если есть вопросы или нужно дополнительное объяснение, пишите!
