(вп)= {162, 108, 72,...) найдите сумму 5-1 членов геометрической прогрессии

Давайте разберём задачу пошагово.

Задача:
Нам дана геометрическая прогрессия (вп), её первые три члена: 162, 108, 72, ...
Требуется найти сумму первых 5 членов прогрессии, минус 1 (то есть сумму первых 5 членов, затем из этой суммы вычесть 1).

Шаг 1: Определим первые члены прогрессии

Итак, первые три члена:

• \( a_1 = 162 \)
• \( a_2 = 108 \)
• \( a_3 = 72 \)

Шаг 2: Найдём знаменатель прогрессии \( q \)

Поскольку это геометрическая прогрессия, каждый следующий член получается умножением предыдущего на один и тот же множитель \( q \).

Значит: \[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{108}{162} = \frac{2}{3} \]

Проверим это на третьем члене: \[ a_3 = a_2 \times q = 108 \times \frac{2}{3} = 108 \times \frac{2}{3} = 72 \] Это совпадает, значит \( q = \frac{2}{3} \).

Шаг 3: Найдём первые 5 членов прогрессии

• \( a_1 = 162 \)
• \( a_2 = 162 \times \frac{2}{3} = 108 \)
• \( a_3 = 108 \times \frac{2}{3} = 72 \)
• \( a_4 = 72 \times \frac{2}{3} = 48 \)
• \( a_5 = 48 \times \frac{2}{3} = 32 \)

Шаг 4: Найдём сумму первых 5 членов

Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} \] где:

• \( a_1 = 162 \),
• \( q = \frac{2}{3} \),
• \( n = 5 \).

Подставим значения: \[ S_5 = 162 \times \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^5}{1 - \frac{2}{3}} \]

Посчитаем: \[ 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]

Теперь найдём \( \left(\frac{2}{3}\right)^5 \): \[ \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} \]

Подставляем: \[ S_5 = 162 \times \frac{1 - \frac{32}{243}}{\frac{1}{3}} \]

В числителе: \[ 1 - \frac{32}{243} = \frac{243}{243} - \frac{32}{243} = \frac{211}{243} \]

Теперь делим на \( \frac{1}{3} \), что равно умножению на 3: \[ S_5 = 162 \times \frac{211}{243} \times 3 \]

Сократим: \[ 162 \times 3 = 486 \] поэтому: \[ S_5 = 486 \times \frac{211}{243} \]

Сократим \( 486 \) и \( 243 \): \[ 486 ÷ 243 = 2 \]

Тогда: \[ S_5 = 2 \times 211 = 422 \]

Итог:

Сумма первых 5 членов прогрессии равна 422.

Задача спрашивала сумму 5-1 членов, то есть: \[ 422 - 1 = \boxed{421} \]

Если что-то неясно — спрашивайте!