Давайте подробно решим каждую часть задачи.
Дано:
- Расстояние между домами: ( 840 ) метров
- Скорость Винни-Пуха: ( v_{В} = 42 ) м/мин
- Скорость Пятачка: ( v_{П} = 63 ) м/мин
а) Через сколько минут они встретятся, если выйдут одновременно?
Если оба начинают идти одновременно, их скорости складываются при движении навстречу друг другу, и они быстро достигнут точки встречи.
Шаг 1: Найдём сумму скоростей:
[
v_{общ} = v_{В} + v_{П} = 42 + 63 = 105 \text{ м/мин}
]
Шаг 2: Время до встречи:
[
t = \frac{\text{расстояние}}{\text{общая скорость}} = \frac{840}{105} = 8 \text{ минут}
]
Ответ на пункт а:
Через 8 минут.
б) Через сколько минут после выхода из дома Винни-Пух встретит Пятачка, если Винни-Пух выйдет на 5 минут раньше него?
Здесь Винни-Пух стартует на 5 минут раньше, чем Пятачок.
Действия:
За эти 5 минут Винни-Пух пройдет:
[
S_{В} = v_{В} \times 5 = 42 \times 5 = 210 \text{ метров}
]
Расстояние между их местоположениями в момент, когда Пятачок выйдет в путь:
[
D_{ост} = 840 - 210 = 630 \text{ метров}
]
После этого момента оба идут навстречу друг другу, и их скорости складываются:
[
v_{общ} = 105 \text{ м/мин}
]
Время для Пятачка, чтобы догнать Винни-Пуха:
[
t_{догон} = \frac{D_{ост}}{v_{общ}} = \frac{630}{105} = 6 \text{ минут}
]
Общий срок с момента выхода Винни-Пуха:
- Винни-Пух начал раньше, и он уже отстал на 5 минут.
- Время после его старта, чтобы встретиться с Пятачком:
[
T_{В} = 5 + 6 = 11 \text{ минут}
]
Ответ на пункт б:
Через 11 минут после выхода Винни-Пуха он встретит Пятачка.
в) На сколько минут раньше нужно выйти Винни-Пуху, чтобы застать Пятачка дома?
Теперь предположим, что Пятачок пока не вышел, и Винни-Пух хочет встретить его, когда Пятачок уже будет дома.
Время, за которое Пятачок дойдет до дома Винни-Пуха, если он выйдет сейчас:
[
T_{П} = \frac{840}{v_{П}} = \frac{840}{63} = 13.33 \text{ минут}
]
То есть Пятачок дойдет за примерно 13 минут 20 секунд.
Винни-Пух должен выйти раньше этого времени, чтобы встретить Пятачка дома.
Он движется со скоростью 42 м/мин, и чтобы встретить Пятачка дома, он должен выйти так, чтобы расстояние между ними к моменту встречи было равно нулю.
При этом он хочет «прибыть» как раз в тот момент, когда Пятачок дойдет до дома, то есть за 13.33 минут.
Время, когда Винни-Пух должен выйти:
[
T_{В} = T_{П} - T_{разницы}
]
где ( T_{разницы} ) — время, которое Винни-Пух потратит, чтобы добраться до дома (840 м) при скорости 42 м/мин:
[
T_{В} = \frac{840}{42} = 20 \text{ минут}
]
Но эта сумма не совсем соответствует условию. Логика такова: Винни-Пух должен начать так, чтобы к моменту, когда Пятачок достигнет дома, они встретились.
Общий секрет:
Чтобы "застать" Пятачка дома, Винни-Пух должен выйти за время, равное разнице между временем, за которое Пятачок туда доберется, и временем, за которое он сможет туда добраться сам.
То есть, Винни-Пух должен выйти заранее на:
[
T_{выхода} = T_{П} - \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость В}} = 13.33 - \frac{840}{42}
]
[
\frac{840}{42} = 20 \text{ минут}
]
Значит, Винни-Пух должен выйти за 20 минут до того времени, когда Пятачок дойдет до дома.
Но нужно подсказать максимально точно. Обычно, чтобы застать Пятачка дома, Винни-Пух должен выйти за:
[
T_{разницы} = \frac{\text{расстояние между домами}}{v_{В} + v_{П}} = 8 \text{ минут}
]
Это соответствует первому пункту. Но так как Пятачок дойдет за 13.33 мин, а Винни-Пух за 20 мин, то чтобы Винни-Пух успел к моменту прихода Пятачка, нужно начать раньше:
[
T_{выхода} = T_{П} - \frac{расстояние между домами}{v_{В} + v_{П}} = 13.33 - 8 = 5.33 \text{ минут}
]
Итог:
Чтобы застать Пятачка дома, Винни-Пух должен выйти примерно за 5 минут 20 секунд до того, как Пятачок дойдет до дома.
Итоговые ответы:
- а) Через 8 минут.
- б) Через 11 минут после выхода Винни-Пуха.
- в) Винни-Пух должен выйти примерно за 5 минут 20 секунд до того, как Пятачок достигнет дома, чтобы его застать дома.
