Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Общее количество человек в группе: (N = 60)
- Количество девочек: (D = 15)
- Количество мальчиков: (M = 60 - 15 = 45)
- Количество выбранных человек: (k = 3)
Задача: найти вероятность того, что все выбранные — мальчики.
Шаг 1: Общие возможные варианты выбора
Общее количество способов выбрать 3 человек из 60 — это число сочетаний:
[
C_{60}^3 = \frac{60!}{3!(60-3)!}
]
Шаг 2: Количество благоприятных вариантов — все мальчики
Чтобы все выбранные были мальчиками, нужно выбрать 3 человека из 45 мальчиков:
[
C_{45}^3 = \frac{45!}{3!(45-3)!}
]
Шаг 3: Расчёт вероятности
Вероятность этого события равна отношению числа благоприятных вариантов к общему числу вариантов:
[
P = \frac{C_{45}^3}{C_{60}^3}
]
Пошаговое вычисление:
- Вычислим (C_{45}^3):
[
C_{45}^3 = \frac{45 \times 44 \times 43}{3 \times 2 \times 1} = \frac{45 \times 44 \times 43}{6}
]
[
C_{45}^3 = \frac{45 \times 44 \times 43}{6} = \frac{45 \times 44 \times 43}{6}
]
Посчитаем числитель:
[
45 \times 44 = 1980
]
[
1980 \times 43 = 85,140
]
Теперь делим на 6:
[
\frac{85,140}{6} = 14,190
]
- Вычислим (C_{60}^3):
[
C_{60}^3 = \frac{60 \times 59 \times 58}{6}
]
Посчитаем числитель:
[
60 \times 59 = 3,540
]
[
3,540 \times 58 = 205,320
]
Теперь делим на 6:
[
\frac{205,320}{6} = 34,220
]
Итог:
[
P = \frac{14,190}{34,220}
]
Можно оставить дробь как есть или упростить примерно:
[
P \approx \frac{14,190}{34,220} \approx 0,4148
]
или примерно 41,5%.
Ответ:
Вероятность того, что все выбранные для рассылки окажутся мальчиками, составляет примерно 41,5%.
