В группе волонтёров 60 чел., из них девочек – 15 чел. С помощью жребия выбирают группу для рассылки листовок. Их количество составляет 3 чел. Найди вероятность того, что все…

Давайте решим задачу по шагам.

Дано:

• Общее количество человек в группе: \(N = 60\)
• Количество девочек: \(D = 15\)
• Количество мальчиков: \(M = 60 - 15 = 45\)
• Количество выбранных человек: \(k = 3\)

Задача: найти вероятность того, что все выбранные — мальчики.

Шаг 1: Общие возможные варианты выбора

Общее количество способов выбрать 3 человек из 60 — это число сочетаний: \[ C_{60}^3 = \frac{60!}{3!(60-3)!} \]

Шаг 2: Количество благоприятных вариантов — все мальчики

Чтобы все выбранные были мальчиками, нужно выбрать 3 человека из 45 мальчиков: \[ C_{45}^3 = \frac{45!}{3!(45-3)!} \]

Шаг 3: Расчёт вероятности

Вероятность этого события равна отношению числа благоприятных вариантов к общему числу вариантов: \[ P = \frac{C_{45}^3}{C_{60}^3} \]

Пошаговое вычисление:

1. Вычислим \(C_{45}^3\): \[ C_{45}^3 = \frac{45 \times 44 \times 43}{3 \times 2 \times 1} = \frac{45 \times 44 \times 43}{6} \] \[ C_{45}^3 = \frac{45 \times 44 \times 43}{6} = \frac{45 \times 44 \times 43}{6} \]

Посчитаем числитель: \[ 45 \times 44 = 1980 \] \[ 1980 \times 43 = 85\,140 \]

Теперь делим на 6: \[ \frac{85\,140}{6} = 14\,190 \]

2. Вычислим \(C_{60}^3\): \[ C_{60}^3 = \frac{60 \times 59 \times 58}{6} \] Посчитаем числитель: \[ 60 \times 59 = 3\,540 \] \[ 3\,540 \times 58 = 205\,320 \] Теперь делим на 6: \[ \frac{205\,320}{6} = 34\,220 \]

Итог:

\[ P = \frac{14\,190}{34\,220} \]

Можно оставить дробь как есть или упростить примерно:

\[ P \approx \frac{14\,190}{34\,220} \approx 0,4148 \]

или примерно 41,5%.

Ответ:

Вероятность того, что все выбранные для рассылки окажутся мальчиками, составляет примерно 41,5%.