Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной…

Давай подробно разберем задачу и решим ее шаг за шагом.

Дано:

• Площадь полной поверхности конуса равна 12.
• Проведено сечение, параллельное основанию, делящее высоту конуса в отношении 1:1 (то есть половина высоты от вершины к базе).
• Нужно найти площадь полной поверхности отсеченного конуса.

---

Шаг 1. Обозначения и исходные формулы

Обозначим:

• \( R \) — радиус основания исходного конуса,
• \( H \) — высоту исходного конуса.

Площадь боковой поверхности конуса:
\[ S_{бок} = \pi R l, \] где \( l \) — образующая конуса.

Площадь основания:
\[ S_{осн} = \pi R^2. \]

Площадь полной поверхности исходного конуса:
\[ S_{итого} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R l + \pi R^2. \] По условию:
\[ \pi R l + \pi R^2 = 12. \quad (1) \]

---

Шаг 2. Анализ сечения

Сечение проводим параллельно основанию и делит высоту в отношении 1:1.
Это означает, что сечение находится посередине высоты:

• расстояние от вершины до сечения: \( \frac{H}{2} \).
• радиус сечения: \( r_s \).

Из подобия треугольников (оригинального и отсечного конуса):
Радиус на высоте \( h \) (от вершины, от \( h=0 \) до \( h=H \)) — пропорционален:
\[ r(h) = R \frac{h}{H}. \] Следовательно, радиус сечения на высоте \( h = \frac{H}{2} \):
\[ r_s = R \frac{H/2}{H} = \frac{R}{2}. \]

---

Шаг 3. Обозначим параметры отсечного конуса

Отсечённый конус — это верхняя часть исходного, от вершины до уровня \( h = \frac{H}{2} \).
Радиус у меньшей основания: \( r_s = \frac{R}{2} \).

---

Шаг 4. Находим параметры отсечного конуса

Площадь полной поверхности исходного:
\[ S_{итого} = \pi R l + \pi R^2 = 12. \]

Образующая исходного конуса \( l \):
\[ l = \sqrt{H^2 + R^2}. \] Это — гипотенуза в треугольнике, где высота — со сторонами \( H \) и \( R \).

---

Шаг 5. Площадь полной поверхности отсеченного конуса

Он состоит из двух частей:

• боковая поверхность.
• основание (верхняя плоскость с радиусом \( r_s = R/2 \)) — если отсечённый конус замкнут.

В задаче обычно спрашивается площадь полной поверхности отсечённого конуса, включающая боковую поверхность и боковое основание.

Но, поскольку сечение происходит в половине высоты, и, скорее всего, требуется найти площадь полной поверхности отсеченного конуса, включающую его боковую поверхность и "круг" с радиусом \( R/2 \).

---

Шаг 6. Находим параметры отсечного конуса

Высота отсечного конуса (от вершины до плоскости сечения):
\[ h' = \frac{H}{2}. \] Радиус сечения: \[ r_s = \frac{R}{2}. \]

Образующая отсечного конуса:
\[ l' = \sqrt{\left(\frac{H}{2}\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{H^2 + R^2} = \frac{l}{2}. \]

---

Шаг 7. Найдем площади

Площадь боковой поверхности отсечного конуса:
\[ S'_{бок} = \pi r_s l' = \pi \left(\frac R2\right) \left(\frac l2\right) = \frac{\pi R l}{4}. \]

Площадь основания отсечного конуса:
\[ S_{осн} = \pi r_s^2 = \pi \left(\frac R2\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4}. \]

Итоговая площадь полной поверхности отсечного конуса:

Он включает боковую поверхность и основание (нижнее, если считать отсеченный конус сверху).
Площадь полной поверхности:
\[ S_{отсеч} = S'_{бок} + S_{осн} = \frac{\pi R l}{4} + \frac{\pi R^2}{4} = \frac{\pi}{4}( R l + R^2 ). \]

---

Шаг 8. Подставляем известные значения

Из уравнения (1):
\[ \pi R l + \pi R^2 = 12 \implies R l + R^2 = \frac{12}{\pi}. \]

Следовательно:
\[ S_{отсеч} = \frac{\pi}{4} \times \frac{12}{\pi} = \frac{12}{4} = 3. \]

---

Ответ:

Площадь полной поверхности отсечённого конуса равна \(\boxed{3}\).