Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса

Давай подробно разберем задачу и решим ее шаг за шагом. **Дано:** - Площадь полной поверхности конуса равна 12. - Проведено сечение, параллельное основанию, делящее высоту конуса в отношении 1:1 (то есть половина высоты от вершины к базе). - Нужно найти площадь полной поверхности отсеченного конуса. --- ### Шаг 1. Обозначения и исходные формулы Обозначим: - \( R \) — радиус основания исходного конуса, - \( H \) — высоту исходного конуса. Площадь боковой поверхности конуса: \[ S_{бок} = \pi R l, \] где \( l \) — образующая конуса. Площадь основания: \[ S_{осн} = \pi R^2. \] Площадь полной поверхности исходного конуса: \[ S_{итого} = S_{бок} + S_{осн} = \pi R l + \pi R^2. \] По условию: \[ \pi R l + \pi R^2 = 12. \quad (1) \] --- ### Шаг 2. Анализ сечения Сечение проводим параллельно основанию и делит высоту в отношении 1:1. Это означает, что сечение находится посередине высоты: - расстояние от вершины до сечения: \( \frac{H}{2} \). - радиус сечения: \( r_s \). Из подобия треугольников (оригинального и отсечного конуса): Радиус на высоте \( h \) (от вершины, от \( h=0 \) до \( h=H \)) — пропорционален: \[ r(h) = R \frac{h}{H}. \] Следовательно, радиус сечения на высоте \( h = \frac{H}{2} \): \[ r_s = R \frac{H/2}{H} = \frac{R}{2}. \] --- ### Шаг 3. Обозначим параметры отсечного конуса Отсечённый конус — это верхняя часть исходного, от вершины до уровня \( h = \frac{H}{2} \). Радиус у меньшей основания: \( r_s = \frac{R}{2} \). --- ### Шаг 4. Находим параметры отсечного конуса Площадь полной поверхности исходного: \[ S_{итого} = \pi R l + \pi R^2 = 12. \] Образующая исходного конуса \( l \): \[ l = \sqrt{H^2 + R^2}. \] Это — гипотенуза в треугольнике, где высота — со сторонами \( H \) и \( R \). --- ### Шаг 5. Площадь полной поверхности отсеченного конуса Он состоит из двух частей: - боковая поверхность. - основание (верхняя плоскость с радиусом \( r_s = R/2 \)) — если отсечённый конус замкнут. В задаче обычно спрашивается площадь полной поверхности **отсечённого конуса, включающая боковую поверхность и боковое основание**. Но, поскольку сечение происходит в половине высоты, и, скорее всего, требуется найти площадь полной поверхности **отсеченного конуса**, включающую его боковую поверхность и "круг" с радиусом \( R/2 \). --- ### Шаг 6. Находим параметры отсечного конуса Высота отсечного конуса (от вершины до плоскости сечения): \[ h' = \frac{H}{2}. \] Радиус сечения: \[ r_s = \frac{R}{2}. \] Образующая отсечного конуса: \[ l' = \sqrt{\left(\frac{H}{2}\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{H^2 + R^2} = \frac{l}{2}. \] --- ### Шаг 7. Найдем площади Площадь боковой поверхности отсечного конуса: \[ S'_{бок} = \pi r_s l' = \pi \left(\frac R2\right) \left(\frac l2\right) = \frac{\pi R l}{4}. \] Площадь основания отсечного конуса: \[ S_{осн} = \pi r_s^2 = \pi \left(\frac R2\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4}. \] ### Итоговая площадь полной поверхности отсечного конуса: Он включает боковую поверхность и основание (нижнее, если считать отсеченный конус сверху). **Площадь полной поверхности:** \[ S_{отсеч} = S'_{бок} + S_{осн} = \frac{\pi R l}{4} + \frac{\pi R^2}{4} = \frac{\pi}{4}( R l + R^2 ). \] --- ### Шаг 8. Подставляем известные значения Из уравнения (1): \[ \pi R l + \pi R^2 = 12 \implies R l + R^2 = \frac{12}{\pi}. \] Следовательно: \[ S_{отсеч} = \frac{\pi}{4} \times \frac{12}{\pi} = \frac{12}{4} = 3. \] --- ### **Ответ:** **Площадь полной поверхности отсечённого конуса равна \(\boxed{3}\).**