8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и…
8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и более Число предприятий 36 18 7 2 Определите, каким должен быть интервал отбора при механи- ческой выборке, чтобы получить данные о средней численности занятых на малых предприятиях с точностью ±1 чел. при уровне вероятности 0,997.
Давайте внимательным образом решим задачу по шагам, чтобы понять, каким должен быть интервал отбора (размер выборки), чтобы получить данные о средней численности работников с точностью ±1 человек при уровне доверия 0,997.
Шаг 1. Постановка задачи и известные данные
- Модель: выборочное обследование каждого 40-го предприятия
- Численность работников и число предприятий:
| Численность работників | Количество предприятий |
|---|---|
| до 5 | 36 |
| 6–10 | 18 |
| 11–15 | 7 |
| 16 и более | 2 |
Общее число предприятий: \[ N = 36 + 18 + 7 + 2 = 63 \]
Однако, поскольку проведено выборочное обследование каждого 40-го, то окончательное число обследованных предприятий: \[ n_{выбор} = \frac{N}{40} \] Но более важно определить необходимый размер выборки для оценки средней численности с заданной точностью.
Шаг 2. Определение условий точности и уровня доверия
- Точность (погрешность): \( \pm 1 \) чел.
- Уровень доверия: 0,997, что соответствует критерию \(\alpha = 1 - 0.997 = 0.003\).
Из таблицы стандартных значений для распределения Хи-квадрат или нормального распределения, критическое значение \(z\) для доверительного интервала 0,997: \[ z_{\alpha/2} \approx 3.00 \] (Можно взять строгое значение из таблицы — примерно 3.00)
Шаг 3. Расчет средней численности и дисперсии
Нам нужно оценить среднюю численность работников \(\bar{X}\), а для этого — определить дисперсию \(\sigma^2\).
Определим грубо средние значения по группам:
- до 5: среднее примерно 3 чел.
- 6–10: среднее примерно 8 чел.
- 11–15: среднее примерно 13 чел.
- 16 и более: возьмем примерно 20 чел.
Расчет среднего по всей совокупности:
\[ \bar{X} \approx \frac{36 \times 3 + 18 \times 8 + 7 \times 13 + 2 \times 20}{63} \]
Проведем вычисление:
\[ (36 \times 3) = 108 \\ (18 \times 8) = 144 \\ (7 \times 13) = 91 \\ (2 \times 20) = 40 \]
Общая сумма:
\[ 108 + 144 + 91 + 40 = 383 \]
Средняя:
\[ \bar{X} = \frac{383}{63} \approx 6.08 \]
Далее необходимо найти дисперсию \(\sigma^2\). Для этого найдем дисперсию по группам:
\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i} n_i (x_i - \bar{X})^2 \]
Где:
- \(n_i\) — число предприятий в группе,
- \(x_i\) — среднее число работников в группе.
Рассчитаем сумму по группам:
\[ (36)(3 - 6.08)^2 \approx 36 \times ( -3.08)^2 = 36 \times 9.49 \approx 341.64 \\ (18)(8 - 6.08)^2 \approx 18 \times (1.92)^2 = 18 \times 3.69 \approx 66.42 \\ (7)(13 - 6.08)^2 \approx 7 \times (6.92)^2 = 7 \times 47.89 \approx 335.23 \\ (2)(20 - 6.08)^2 \approx 2 \times (13.92)^2 = 2 \times 193.87 \approx 387.74 \]
Общая сумма:
\[ 341.64 + 66.42 + 335.23 + 387.74 \approx 1131.03 \]
Дисперсия выборочная:
\[ \sigma^2 \approx \frac{1131.03}{63} \approx 17.94 \]
Шаг 4. Расчет минимального объема выборки \( n \)
Формула для выборочного среднего:
\[ n \geq \frac{z^2 \sigma^2}{\Delta^2} \]
Где:
- \(z \approx 3\),
- \(\sigma^2 \approx 17.94\),
- \(\Delta = 1\) (необходимая точность).
Подставляем:
\[ n \geq \frac{(3)^2 \times 17.94}{1^2} = \frac{9 \times 17.94}{1} = 161.46 \]
Округлим:
\[ n \geq 162 \]
Ответ:
Для получения оценки средней численности работников малых предприятий с точностью ±1 человек при уровне доверия 0,997, необходимо провести выборку не менее 162 предприятий.
