Давайте внимательным образом решим задачу по шагам, чтобы понять, каким должен быть интервал отбора (размер выборки), чтобы получить данные о средней численности работников с точностью ±1 человек при уровне доверия 0,997.
Шаг 1. Постановка задачи и известные данные
- Модель: выборочное обследование каждого 40-го предприятия
- Численность работников и число предприятий:
| Численность работників |
Количество предприятий |
| до 5 |
36 |
| 6–10 |
18 |
| 11–15 |
7 |
| 16 и более |
2 |
Общее число предприятий:
[ N = 36 + 18 + 7 + 2 = 63 ]
Однако, поскольку проведено выборочное обследование каждого 40-го, то окончательное число обследованных предприятий:
[ n_{выбор} = \frac{N}{40} ]
Но более важно определить необходимый размер выборки для оценки средней численности с заданной точностью.
Шаг 2. Определение условий точности и уровня доверия
- Точность (погрешность): ( \pm 1 ) чел.
- Уровень доверия: 0,997, что соответствует критерию (\alpha = 1 - 0.997 = 0.003).
Из таблицы стандартных значений для распределения Хи-квадрат или нормального распределения, критическое значение (z) для доверительного интервала 0,997:
[ z_{\alpha/2} \approx 3.00 ]
(Можно взять строгое значение из таблицы — примерно 3.00)
Шаг 3. Расчет средней численности и дисперсии
Нам нужно оценить среднюю численность работников (\bar{X}), а для этого — определить дисперсию (\sigma^2).
Определим грубо средние значения по группам:
- до 5: среднее примерно 3 чел.
- 6–10: среднее примерно 8 чел.
- 11–15: среднее примерно 13 чел.
- 16 и более: возьмем примерно 20 чел.
Расчет среднего по всей совокупности:
[ \bar{X} \approx \frac{36 \times 3 + 18 \times 8 + 7 \times 13 + 2 \times 20}{63} ]
Проведем вычисление:
[
(36 \times 3) = 108 \
(18 \times 8) = 144 \
(7 \times 13) = 91 \
(2 \times 20) = 40
]
Общая сумма:
[ 108 + 144 + 91 + 40 = 383 ]
Средняя:
[ \bar{X} = \frac{383}{63} \approx 6.08 ]
Далее необходимо найти дисперсию (\sigma^2). Для этого найдем дисперсию по группам:
[
\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i} n_i (x_i - \bar{X})^2
]
Где:
- (n_i) — число предприятий в группе,
- (x_i) — среднее число работников в группе.
Рассчитаем сумму по группам:
[
(36)(3 - 6.08)^2 \approx 36 \times ( -3.08)^2 = 36 \times 9.49 \approx 341.64 \
(18)(8 - 6.08)^2 \approx 18 \times (1.92)^2 = 18 \times 3.69 \approx 66.42 \
(7)(13 - 6.08)^2 \approx 7 \times (6.92)^2 = 7 \times 47.89 \approx 335.23 \
(2)(20 - 6.08)^2 \approx 2 \times (13.92)^2 = 2 \times 193.87 \approx 387.74
]
Общая сумма:
[ 341.64 + 66.42 + 335.23 + 387.74 \approx 1131.03 ]
Дисперсия выборочная:
[
\sigma^2 \approx \frac{1131.03}{63} \approx 17.94
]
Шаг 4. Расчет минимального объема выборки ( n )
Формула для выборочного среднего:
[
n \geq \frac{z^2 \sigma^2}{\Delta^2}
]
Где:
- (z \approx 3),
- (\sigma^2 \approx 17.94),
- (\Delta = 1) (необходимая точность).
Подставляем:
[
n \geq \frac{(3)^2 \times 17.94}{1^2} = \frac{9 \times 17.94}{1} = 161.46
]
Округлим:
[
n \geq 162
]
Ответ:
Для получения оценки средней численности работников малых предприятий с точностью ±1 человек при уровне доверия 0,997, необходимо провести выборку не менее 162 предприятий.
