Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом решим ее.
Дано:
- Расстояние от линзы до экрана (изображения): ( D_i = 25 \text{ см} )
- Увеличение изображения (меньше или больше): ( m = 3{,}1 )
- Нужно найти: фокусное расстояние линзы ( f ) и расстояние от предмета до линзы ( D_o )
Шаг 1. Понимание условий
Из условия, изображение в 3,1 раза больше предмета. Тогда,
[
\frac{D_i}{D_o} = m = 3,1
]
Но важен момент: Увеличение в задаче — это относительное увеличение по размерам изображения и предмета. В случае для тонкой линзы:
[
\text{Масштаб} = \left| \frac{D_i}{D_o} \right| = m
]
Также, для изображения, формула линзы:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{D_o} + \frac{1}{D_i}
]
Шаг 2. Определение связей
На изображении изображение получилось в 3,1 раза больше предмета, то есть:
[
\frac{\text{высота изображения}}{\text{высота предмета}} = \left| \frac{D_i}{D_o} \right| = 3,1
]
Поскольку изображение и предмет в одной плоскости, их длины пропорциональны расстояниям.
Поскольку изображение — реальное и увеличенное, то:
[
\frac{D_i}{D_o} = 3,1
]
Из этого следует:
[
D_i = 3,1 D_o
]
Шаг 3. Используем формулу линзы
Известно, что:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{D_o} + \frac{1}{D_i}
]
Подставим ( D_i = 3,1 D_o ):
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{D_o} + \frac{1}{3,1 D_o} = \frac{1}{D_o} + \frac{1}{3,1 D_o} = \frac{3,1 + 1}{3,1 D_o} = \frac{4,1}{3,1 D_o}
]
Отсюда:
[
f = \frac{3,1 D_o}{4,1}
]
Шаг 4. Используем расстояние до экрана
Знаем, что:
[
D_i = 25 \text{ см}
]
Но и из предыдущего уравнения:
[
D_i = 3,1 D_o
]
следовательно,
[
25 = 3,1 D_o \Rightarrow D_o = \frac{25}{3,1} \approx 8,06 \text{ см}
]
Шаг 5. Найти фокусное расстояние (f)
Теперь, подставляя ( D_o ):
[
f = \frac{3,1 \times 8,06}{4,1} \approx \frac{24,97}{4,1} \approx 6,09 \text{ см}
]
Округляем до целого числа:
[
f \approx 6 \text{ см}
]
Ответ:
- Фокусное расстояние линзы: примерно 6 см
- Расстояние между предметом и линзой: около 8 см
Если нужно, я могу формализовать ответ в виде полного предложения.
