Реши

Давайте разберёмся с задачей пошагово.

Дано:

• Радиус кольца, по которому движутся бусинки: \( R = 40 \) см.
• Бусинки имеют одинаковую массу и заряд, положительный.
• Начальное положение — бусинки держатся на горизонтальном диаметре кольца.
• В поле тяжести Земли, в вертикальной плоскости.
• Бусинки отпускают без начальной скорости, чтобы потом двигаться по кольцу.
• Нужно найти их максимальные скорости, если состояние равновесия — на хордe, то есть, бусинки движутся по кольцу.

Что требуется найти:

• Максимальные скорости бусинок при движении по кольцу.

Анализ:

1. Исходное состояние:

   • Бусинки держатся на горизонтальном диаметре.
   • Значит, начальная потенциальная энергона и кинетическая равны нулю, если принять за нуль потенциальной энергии — горизонтальную линию.

2. Когда бусинки отпускают:

   • Они начинают двигаться вниз, под действием гравитации.
   • В какой-то момент они достигнут нижней точки кольца — точку, в которой потенциальная энергия минимальна, а кинетическая — максимум (если disregarding сопротивление воздуха).

3. Рассмотрим энергию:

   • Полная механическая энергия — сумма потенциальной и кинетической.
   • В начальный момент: \[ E_{нач} = U_{нач} + K_{нач} = U_{нач} + 0, \] так как бусинки без начальной скорости и на горизонтальной линии.

4. Потенциальная энергия:

   • В начале, бусинки на высоте \( h_{нач} = R \), потому что они на горизонтальной линии, а центр кольца — в нуле.
   • Потенциальная энергия: \( U_{нач} = m g R \).

5. Когда бусинки достигнут нижней точки:

   • Потенциальная энергия станет минимальной, равной нулю, если принять за нуль потенциальной энергии в нижней точке.
   • Тогда вся первоначальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию.

6. Запишем энергию в нижней точке:

   \[ E_{нижняя} = U_{нижняя} + K_{нижняя}. \]

   В нулевой точке потенциал равен нулю (\( U_{нижняя} = 0 \)):

   \[ E_{нач} = E_{нижняя} \Rightarrow m g R = \frac{1}{2} m v_{max}^2, \] где \( v_{max} \) — максимальная скорость при прохождении нижней точки.

7. Найдем \( v_{max} \):

   \[ v_{max} = \sqrt{2 g R}. \]

Итог:

\[ \boxed{ \text{Максимальная скорость } v_{max} = \sqrt{2 g R} } \]

Подставим численные значения:

• \( g \approx 9.8\, \text{м/с}^2 \) (или см/с\(^2\): 980 см/с\(^2\))
• \( R = 40\, \text{см} \)

Переведем в однородные единицы:

\[ v_{max} = \sqrt{2 \times 980\, \text{см/с}^2 \times 40\, \text{см}} = \sqrt{2 \times 980 \times 40} \, \text{см/с} \]

\[ = \sqrt{2 \times 980 \times 40} = \sqrt{2 \times 39200} = \sqrt{78400} \approx 280\, \text{см/с} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Максимальная скорость бусинки } \approx 280\, \text{см/с} } \]

Это — максимальная скорость, которую бусинка приобретает при движении по кольцу, если она стартует без начальной скорости и падает под действием силы тяжести.