Давайте решим задачу пошагово.
Задача: В магазине есть 17 тетрадей с героями мультфильмов и 5 — с геометрическими абстракциями. Катя выбирает случайно 5 тетрадей. Нужно найти вероятность того, что среди выбранных нет ни одной с героями мультфильмов.
Шаг 1. Общее количество тетрадей
Общее число тетрадей:
[ N_{все} = 17 + 5 = 22 ]
Шаг 2. Общее число способов выбрать 5 тетрадей из 22
Общее число способов выбрать 5 тетрадей из 22 без ограничения:
[ C_{22}^{5} ]
где
[ C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
Шаг 3. Число способов выбрать 5 тетрадей, чтобы среди них не было мультфильмовых
Это значит, что все выбранные тетради должны быть из 5 с геометрическими абстракциями, так как мультфильмовые исключены.
Количество таких способов:
[ C_{5}^{5} = 1 ]
так как выбираем все 5 тетрадей из 5 имеющихся.
Шаг 4. Вероятность искомого события
Вероятность того, что среди выбранных нет ни одной с героями мультфильмов:
[ P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{C_{5}^{5}}{C_{22}^{5}} ]
Шаг 5. Вычисление
- ( C_{5}^{5} = 1 )
- ( C_{22}^{5} = \frac{22!}{5! \cdot 17!} )
Посчитаем ( C_{22}^{5} ):
[ C_{22}^{5} = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} ]
Вычисляем шаг за шагом:
numerator:
[ 22 \times 21 = 462 ]
[ 462 \times 20 = 9240 ]
[ 9240 \times 19 = 175560 ]
[ 175560 \times 18 = 3160080 ]
denominator:
[ 5 \times 4 = 20 ]
[ 20 \times 3 = 60 ]
[ 60 \times 2 = 120 ]
[ 120 \times 1 = 120 ]
Значит:
[ C_{22}^{5} = \frac{3160080}{120} = 26334 ]
Итоговая вероятность:
[
P = \frac{1}{26334}
]
Ответ:
Вероятность того, что среди выбранных Катей 5 тетрадей не окажется ни одной с героями мультфильмов, равна (\boxed{\frac{1}{26334}}).
