Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять все условия и найти первоначальную скорость трактора.
Обозначения:
- Пусть ( S ) — расстояние от пункта А до пункта В по первой дороге (км).
- Пусть ( v ) — скорость трактора по первой дороге (км/ч).
- Тогда время пути по первой дороге: ( t_1 = \frac{S}{v} ).
Дано:
- Время в пути туда: 3 часа.
- Значит, ( t_1 = 3 ), и отсюда:
[
\frac{S}{v} = 3 \quad \Rightarrow \quad S = 3v
]
Для обратной дороги:
- Длина дороги на 30 км больше: ( S_{\text{обратная}} = S + 30 ).
- Скорость по обратной дороге: на 1 мин (то есть (\frac{1}{60}) часа) быстрее на каждом километре по сравнению с первой дорогой.
Пусть скорость по обратной дороге: ( v_{\text{обратная}} = v + \Delta v ).
Из условия:
- За один километр по обратной дороге тракетор едет на 1 минут быстрее, чем по первой.
Время на один километр по первой дороге: ( \frac{1}{v} ) часов.
Время на один километр по обратной дороге: ( \frac{1}{v + \Delta v} ).
- Разница:
[
\frac{1}{v} - \frac{1}{v + \Delta v} = \frac{1}{60}
]
Это уравнение для нахождения ( \Delta v ):
[
\frac{1}{v} - \frac{1}{v + \Delta v} = \frac{1}{60}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{v + \Delta v - v}{v(v + \Delta v)} = \frac{1}{60}
]
[
\frac{\Delta v}{v(v + \Delta v)} = \frac{1}{60}
]
Теперь выразим время обратной дороги:
[
t_2 = \frac{S + 30}{v + \Delta v}
]
По условию, обратный путь занял то же время, что и путь туда:
[
t_2 = t_1 = 3
]
[
\frac{S + 30}{v + \Delta v} = 3
]
Заменяем ( S = 3v ):
[
\frac{3v + 30}{v + \Delta v} = 3
]
Из этого:
[
3v + 30 = 3(v + \Delta v)
]
[
3v + 30 = 3v + 3 \Delta v
]
[
30 = 3 \Delta v
]
[
\Delta v = 10
]
Теперь подставляем ( \Delta v = 10 ) в уравнение:
[
\frac{\Delta v}{v(v + \Delta v)} = \frac{1}{60}
]
[
\frac{10}{v(v + 10)} = \frac{1}{60}
]
Перемножим крест-накрест:
[
10 \times 60 = v(v + 10)
]
[
600 = v^2 + 10v
]
Решим квадратное уравнение:
[
v^2 + 10v - 600 = 0
]
Используем формулу:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=1 ), ( b=10 ), ( c=-600 ):
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \times 1 \times (-600)}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 2400}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{2500}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm 50}{2}
]
Два варианта:
- ( v = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20 )
- ( v = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30 ) (отрицательной скорости не можем, поэтому отвергаем).
Итак, первоначальная скорость трактора:
[
\boxed{v = 20 \text{ км/ч}}
]
Итог:
Первоначальная скорость трактора — 20 км/ч.
