Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти уравнение окружности с заданным центром и проходящей через определённую точку.
Шаг 1: Записать стандартное уравнение окружности
Уравнение окружности в плане с центром (O(x_0, y_0)) и радиусом (R) имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2
]
Где:
- ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности,
- (R) — радиус.
Из условия задачи:
Центр (O(-1, -3)).
Следовательно:
[
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = R^2
]
Шаг 2: Найти радиус (R)
Радиус — это расстояние от центра окружности (O) до любой точки, которая лежит на окружности. В условии дано, что окружность проходит через точку (D(3, 4)).
Чтобы найти (R), вычислим расстояние между точками (O(-1, -3)) и (D(3, 4)):
[
R = \sqrt{(x_D - x_O)^2 + (y_D - y_O)^2}
]
[
R = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - (-3))^2}
]
[
R = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{4^2 + 7^2}
]
[
R = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}
]
Шаг 3: Записать окончательное уравнение окружности
Подставим найденное значение радиуса ( R^2 = 65 ):
[
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 65
]
Итог:
Ответ:
[
\boxed{
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 65
}
]
Это уравнение окружности с центром в точке ((-1, -3)), проходящей через точку ((3, 4)).
Если нужно, я могу помочь с дополнительными пояснениями или проверками.
