Составьте уравнение окружности с центром O (-1; -3), проходящей через точку D (3; 4)

Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как найти уравнение окружности с заданным центром и проходящей через определённую точку.

Шаг 1: Записать стандартное уравнение окружности

Уравнение окружности в плане с центром \(O(x_0, y_0)\) и радиусом \(R\) имеет вид:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \]

Где:

• \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности,
• \(R\) — радиус.

Из условия задачи:
Центр \(O(-1, -3)\).

Следовательно:

\[ (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = R^2 \]

Шаг 2: Найти радиус \(R\)

Радиус — это расстояние от центра окружности \(O\) до любой точки, которая лежит на окружности. В условии дано, что окружность проходит через точку \(D(3, 4)\).

Чтобы найти \(R\), вычислим расстояние между точками \(O(-1, -3)\) и \(D(3, 4)\):

\[ R = \sqrt{(x_D - x_O)^2 + (y_D - y_O)^2} \]

\[ R = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - (-3))^2} \]

\[ R = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 + 3)^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} \]

\[ R = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \]

Шаг 3: Записать окончательное уравнение окружности

Подставим найденное значение радиуса \( R^2 = 65 \):

\[ (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 65 \]

Итог:

Ответ:

\[ \boxed{ (x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 65 } \]

Это уравнение окружности с центром в точке \((-1, -3)\), проходящей через точку \((3, 4)\).

Если нужно, я могу помочь с дополнительными пояснениями или проверками.