Маша с Варей поспорили. Маша утверждает, что можно нарисовать на плоскости 15 отрезков так, чтобы они пересекались ровно с 21 другими. Верно ли её утверждение?
Рассмотрим задачу: Маша утверждает, что на плоскости можно разместить 15 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с 21 другими. Нужно понять, возможно ли такое расположение отрезков.
Обозначим:
- \( n = 15 \) — число отрезков,
- \( r_i \) — число пересечений для \( i \)-го отрезка.
По условию, для каждого отрезка \( r_i = 21 \).
В целом, общая сумма пересечений по всем отрезкам равна сумме всех \( r_i \):
\[ \sum_{i=1}^{n} r_i = 15 \times 21 = 315. \]
Однако, каждое пересечение двух отрезков считается дважды в сумме (один раз для каждого из двух отрезков). Поэтому, фактическое число различных пересечений (уникальных точек пересечения) равно половине этой суммы:
\[ \text{число пересечений} = \frac{315}{2} = 157,5. \]
Но число пересечений не может быть дробным! Это уже наводит на мысль, что такая раскладка невозможна.
Проверим более строго. В графе, где вершины — это отрезки, а ребра — пересечения между ними, каждый отрезок связан с ровно 21 другими. Тогда:
- Всего таких связей (пересечений): \( \frac{n \times 21}{2} \), поскольку каждое пересечение пересекает два отрезка, и его считают дважды.
Подставим \( n=15 \):
\[ \text{Всего пересечений} = \frac{15 \times 21}{2} = \frac{315}{2} = 157,5, \]
что невозможно — количество пересечений должно быть целым числом.
Вывод:
Так как число пересечений получается дробным — 157,5 — то такого расположения отрезков на плоскости осуществить невозможно.
Ответ: Нет, утверждение Маши неверно. Нельзя разместить 15 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с 21 другими, потому что число пересечений должно быть целым, а в данной ситуации оно получается дробным.
