x4=(5x+4)2
Давайте разберём задачу:
\[ x^4 = (5x + 4)^2 \]
Цель — понять решение этой уравнения.
Шаг 1: Раскроем скобки и упростим уравнение
У нас есть:
\[ x^4 = (5x + 4)^2 \]
То есть, правая часть — это квадрат бинома \( 5x + 4 \).
Раскроем квадрат:
\[ (5x + 4)^2 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 4 + 4^2 \]
Подставим:
\[ (5x)^2 = 25x^2 \]
\[ 2 \times 5x \times 4 = 40x \]
\[ 4^2 = 16 \]
Итак:
\[ (5x + 4)^2 = 25x^2 + 40x + 16 \]
Теперь уравнение принимает вид:
\[ x^4 = 25x^2 + 40x + 16 \]
Шаг 2: Перенесем всё в одну сторону уравнения
Обозначим:
\[ x^4 - 25x^2 - 40x - 16 = 0 \]
Это — уравнение высокой степени, решать его напрямую сложно, поэтому попробуем найти рациональные корни методом подбора делителей свободного члена.
Шаг 3: Проверка рациональных корней по теореме rational root theorem
В нашем уравнении:
- свободный член: \(-16\)
- коэффициент при \( x^4 \): 1
Возможные rational root: делители \(-16\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\).
Проверим эти числа подставляя в уравнение.
Шаг 4: Проверка корней
Проверим \( x = 1 \):
\[ 1^4 - 25 \times 1^2 - 40 \times 1 - 16 = 1 - 25 - 40 - 16 = -80 \neq 0 \]
Проверим \( x = -1 \):
\[ 1 - 25 - (-40) - 16 = 1 - 25 + 40 - 16 = 0 \]
Получилось! \( x = -1 \) — корень.
Шаг 5: Деление многочлена на \( (x + 1) \)
Используем деление многочлена:
Делим \( x^4 - 25x^2 - 40x - 16 \) на \( x + 1 \).
Полином при делении:
- Начинаем делить \( x^4 \) на \( x \), получая \( x^3 \).
Деление по схемі:
Перемножим \( (x+1) \times x^3 = x^4 + x^3 \).
Вычитаем:
\[ (x^4 - 25x^2 - 40x - 16) - (x^4 + x^3) = -x^3 - 25x^2 - 40x - 16 \].Делим \( -x^3 \) на \( x \), получая \( -x^2 \).
Умножим: \( (x+1)(-x^2) = -x^3 - x^2 \).
Вычитаем:
\[ (-x^3 - 25x^2 - 40x - 16) - (-x^3 - x^2) = -24x^2 - 40x - 16 \].Делим \( -24x^2 \) на \( x \), получая \( -24x \).
Умножим: \( (x+1)(-24x) = -24x^2 - 24x \).
Вычитаем:
\[ (-24x^2 - 40x - 16) - (-24x^2 - 24x) = -16x - 16 \].Делим \( -16x \) на \( x \), получая \( -16 \).
Умножим: \( (x+1)(-16) = -16x - 16 \).
Вычитаем:
\[ (-16x - 16) - (-16x - 16) = 0 \].
Итак, деление проходит без остатка, и окружное многочлен:
\[ x^4 - 25x^2 - 40x - 16 = (x+1)(x^3 - x^2 - 24x - 16) \]
Шаг 6: Решение кубического уравнения
Теперь решим:
\[ x^3 - x^2 - 24x - 16 = 0 \]
Проверим наличие рациональных корней по допустимым делителям: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\).
Проверим \( x=1 \):
\[ 1 - 1 - 24 - 16 = -40 \neq 0 \].
Проверим \( x=-1 \):
\[ -1 -1 + 24 - 16 = 6 \neq 0 \].
Проверим \( x=2 \):
\[ 8 - 4 - 48 - 16 = -60 \neq 0 \].
Проверим \( x=-2 \):
\[ -8 -4 + 48 - 16 = 20 \neq 0 \].
Проверим \( x=4 \):
\[ 64 - 16 - 96 - 16 = -64 \neq 0 \].
Проверим \( x=-4 \):
\[ -64 - 16 + 96 - 16 = 0 \].
Это — корень! \( x = -4 \).
Шаг 7: Деление кубического на \( x + 4 \)
Делим многочлен \( x^3 - x^2 - 24x - 16 \) на \( x + 4 \).
Деление:
\( x^3 \div x = x^2 \).
Умножение: \( (x + 4) \times x^2 = x^3 + 4x^2 \).
Вырезание:
\[ (x^3 - x^2 - 24x - 16) - (x^3 + 4x^2) = -5x^2 - 24x - 16 \].Делим \( -5x^2 \) на \( x \): \( -5x \).
Умножение: \( (x + 4)(-5x) = -5x^2 - 20x \).
Вычитание:
\[ (-5x^2 - 24x - 16) - (-5x^2 - 20x) = -4x - 16 \].Делим \( -4x \) на \( x \): \( -4 \).
Умножение: \( (x + 4)(-4) = -4x - 16 \).
Вычитание:
\[ (-4x - 16) - (-4x - 16) = 0 \].
Итог:
\[ x^3 - x^2 - 24x - 16 = (x + 4)(x^2 - 5x - 4) \].
Шаг 8: Решение квадратичного уравнения
Осталось решить:
\[ x^2 - 5x - 4 = 0 \]
Используем формулу:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} \]
Расчёт:
\[ \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \]
Следовательно:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} \]
Итог: все корни уравнения
Решения:
\[
x = -1, \quad x = -4, \quad x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}, \quad x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2}
\]
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробно объяснить любой этап, скажи!
