X4=(5x+4)2

Давайте разберём задачу: \[ x^4 = (5x + 4)^2 \] Цель — понять решение этой уравнения. --- ### Шаг 1: Раскроем скобки и упростим уравнение У нас есть: \[ x^4 = (5x + 4)^2 \] То есть, правая часть — это квадрат бинома \( 5x + 4 \). Раскроем квадрат: \[ (5x + 4)^2 = (5x)^2 + 2 \times 5x \times 4 + 4^2 \] Подставим: \[ (5x)^2 = 25x^2 \] \[ 2 \times 5x \times 4 = 40x \] \[ 4^2 = 16 \] Итак: \[ (5x + 4)^2 = 25x^2 + 40x + 16 \] Теперь уравнение принимает вид: \[ x^4 = 25x^2 + 40x + 16 \] --- ### Шаг 2: Перенесем всё в одну сторону уравнения Обозначим: \[ x^4 - 25x^2 - 40x - 16 = 0 \] Это — уравнение высокой степени, решать его напрямую сложно, поэтому попробуем найти рациональные корни методом подбора делителей свободного члена. ### Шаг 3: Проверка рациональных корней по теореме rational root theorem В нашем уравнении: - свободный член: \(-16\) - коэффициент при \( x^4 \): 1 Возможные rational root: делители \(-16\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\). Проверим эти числа подставляя в уравнение. --- ### Шаг 4: Проверка корней **Проверим \( x = 1 \):** \[ 1^4 - 25 \times 1^2 - 40 \times 1 - 16 = 1 - 25 - 40 - 16 = -80 \neq 0 \] **Проверим \( x = -1 \):** \[ 1 - 25 - (-40) - 16 = 1 - 25 + 40 - 16 = 0 \] Получилось! \( x = -1 \) — корень. --- ### Шаг 5: Деление многочлена на \( (x + 1) \) Используем деление многочлена: Делим \( x^4 - 25x^2 - 40x - 16 \) на \( x + 1 \). **Полином при делении:** - Начинаем делить \( x^4 \) на \( x \), получая \( x^3 \). **Деление по схемі:** - Перемножим \( (x+1) \times x^3 = x^4 + x^3 \). - Вычитаем: \[ (x^4 - 25x^2 - 40x - 16) - (x^4 + x^3) = -x^3 - 25x^2 - 40x - 16 \]. - Делим \( -x^3 \) на \( x \), получая \( -x^2 \). - Умножим: \( (x+1)(-x^2) = -x^3 - x^2 \). - Вычитаем: \[ (-x^3 - 25x^2 - 40x - 16) - (-x^3 - x^2) = -24x^2 - 40x - 16 \]. - Делим \( -24x^2 \) на \( x \), получая \( -24x \). - Умножим: \( (x+1)(-24x) = -24x^2 - 24x \). - Вычитаем: \[ (-24x^2 - 40x - 16) - (-24x^2 - 24x) = -16x - 16 \]. - Делим \( -16x \) на \( x \), получая \( -16 \). - Умножим: \( (x+1)(-16) = -16x - 16 \). - Вычитаем: \[ (-16x - 16) - (-16x - 16) = 0 \]. Итак, деление проходит без остатка, и окружное многочлен: \[ x^4 - 25x^2 - 40x - 16 = (x+1)(x^3 - x^2 - 24x - 16) \] --- ### Шаг 6: Решение кубического уравнения Теперь решим: \[ x^3 - x^2 - 24x - 16 = 0 \] Проверим наличие рациональных корней по допустимым делителям: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16\). Проверим \( x=1 \): \[ 1 - 1 - 24 - 16 = -40 \neq 0 \]. Проверим \( x=-1 \): \[ -1 -1 + 24 - 16 = 6 \neq 0 \]. Проверим \( x=2 \): \[ 8 - 4 - 48 - 16 = -60 \neq 0 \]. Проверим \( x=-2 \): \[ -8 -4 + 48 - 16 = 20 \neq 0 \]. Проверим \( x=4 \): \[ 64 - 16 - 96 - 16 = -64 \neq 0 \]. Проверим \( x=-4 \): \[ -64 - 16 + 96 - 16 = 0 \]. Это — корень! \( x = -4 \). --- ### Шаг 7: Деление кубического на \( x + 4 \) Делим многочлен \( x^3 - x^2 - 24x - 16 \) на \( x + 4 \). **Деление:** - \( x^3 \div x = x^2 \). - Умножение: \( (x + 4) \times x^2 = x^3 + 4x^2 \). - Вырезание: \[ (x^3 - x^2 - 24x - 16) - (x^3 + 4x^2) = -5x^2 - 24x - 16 \]. - Делим \( -5x^2 \) на \( x \): \( -5x \). - Умножение: \( (x + 4)(-5x) = -5x^2 - 20x \). - Вычитание: \[ (-5x^2 - 24x - 16) - (-5x^2 - 20x) = -4x - 16 \]. - Делим \( -4x \) на \( x \): \( -4 \). - Умножение: \( (x + 4)(-4) = -4x - 16 \). - Вычитание: \[ (-4x - 16) - (-4x - 16) = 0 \]. Итог: \[ x^3 - x^2 - 24x - 16 = (x + 4)(x^2 - 5x - 4) \]. --- ### Шаг 8: Решение квадратичного уравнения Осталось решить: \[ x^2 - 5x - 4 = 0 \] Используем формулу: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} \] Расчёт: \[ \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \] Следовательно: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2} \] --- ### Итог: все корни уравнения Решения: \[ x = -1, \quad x = -4, \quad x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}, \quad x = \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробно объяснить любой этап, скажи!