С вершины утеса высотой 65 м брошен вертикально вверх камень со скоростью 10 м/с. Через какое время камень достигнет основания утеса? Какова его скорость перед ударом о землю? (

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Высота утеса, \(h = 65\,м\) - Начальная скорость броска, \(v_0 = 10\,м/с\) - Ускорение свободного падения, \(g = 9,8\,м/с^2\) Задача: 1. Определить время, через которое камень достигнет основания утеса. 2. Найти скорость камня в момент удара о землю. --- ### Шаг 1. Анализ ситуации Камень бросается вертикально вверх с высоты \(h_0 = 65\,м\). Его начальная скорость — \(v_0 = 10\,м/с\). Через какое время он достигнет основания утеса? Это значит, что он опустится на землю, которая находится ниже точки броска на \(65\,м\). ### Шаг 2. Выводы и уравнение движения Положение камня в любой момент времени \(t\) можно описать уравнением: \[ y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \] где: - \(y_0 = 65\,м\) — начальная высота (вершина утеса), - \(y(t)\) — высота в момент времени \(t\). Камень достигнет основания утеса, когда \(y(t) = 0\): \[ 0 = 65 + 10 t - 4.9 t^2 \] Это квадратичное уравнение: \[ 4.9 t^2 - 10 t - 65 = 0 \] --- ### Шаг 3. Решение квадратичного уравнения Запишем его в стандартном виде: \[ a = 4.9, \quad b = -10, \quad c = -65 \] Дискриминант: \[ D = b^2 - 4 a c = (-10)^2 - 4 \times 4.9 \times (-65) = 100 + 4 \times 4.9 \times 65 \] Вычислим: \[ 4 \times 4.9 = 19.6 \] \[ 19.6 \times 65 = 1274 \] Тогда: \[ D = 100 + 1274 = 1374 \] Корни уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{1374}}{2 \times 4.9} \] Вычислим \(\sqrt{1374}\): \[ \sqrt{1374} \approx 37.05 \] Теперь два корня: \[ t_1 = \frac{10 + 37.05}{9.8} \approx \frac{47.05}{9.8} \approx 4.80\,\text{с} \] \[ t_2 = \frac{10 - 37.05}{9.8} \approx \frac{-27.05}{9.8} \approx -2.76\,\text{с} \] Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем только положительный: \[ \boxed{ t \approx 4.80\,с } \] **Ответ на первый вопрос:** **камень достигнет основания утеса через примерно 4.80 секунд.** --- ### Шаг 4. Расчет скорости перед ударом о землю Чтобы найти скорость в момент удара, используем уравнение для скорости: \[ v(t) = v_0 - g t \] Подставим \(t \approx 4.80\,с\): \[ v = 10 - 9.8 \times 4.80 \approx 10 - 47.04 = -37.04\,м/с \] Знак минус означает, что скорость направлена вниз. --- ### **Итоговые ответы:** - **Время достижения основания утеса:** **около 4.80 секунд** - **Скорость камня перед ударом о землю:** **примерно 37 м/с вниз**. Если нужны более точные вычисления или пояснения — обращайтесь!