С вершины утеса высотой 65 м брошен вертикально вверх камень со скоростью 10 м/с. Через какое время камень достигнет основания утеса? Какова его скорость перед ударом о землю? (
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Высота утеса, \(h = 65\,м\)
- Начальная скорость броска, \(v_0 = 10\,м/с\)
- Ускорение свободного падения, \(g = 9,8\,м/с^2\)
Задача:
- Определить время, через которое камень достигнет основания утеса.
- Найти скорость камня в момент удара о землю.
Шаг 1. Анализ ситуации
Камень бросается вертикально вверх с высоты \(h_0 = 65\,м\).
Его начальная скорость — \(v_0 = 10\,м/с\).
Через какое время он достигнет основания утеса?
Это значит, что он опустится на землю, которая находится ниже точки броска на \(65\,м\).
Шаг 2. Выводы и уравнение движения
Положение камня в любой момент времени \(t\) можно описать уравнением:
\[ y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \]
где:
- \(y_0 = 65\,м\) — начальная высота (вершина утеса),
- \(y(t)\) — высота в момент времени \(t\).
Камень достигнет основания утеса, когда \(y(t) = 0\):
\[ 0 = 65 + 10 t - 4.9 t^2 \]
Это квадратичное уравнение:
\[ 4.9 t^2 - 10 t - 65 = 0 \]
Шаг 3. Решение квадратичного уравнения
Запишем его в стандартном виде:
\[ a = 4.9, \quad b = -10, \quad c = -65 \]
Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4 a c = (-10)^2 - 4 \times 4.9 \times (-65) = 100 + 4 \times 4.9 \times 65 \]
Вычислим:
\[ 4 \times 4.9 = 19.6 \] \[ 19.6 \times 65 = 1274 \]
Тогда:
\[ D = 100 + 1274 = 1374 \]
Корни уравнения:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ t = \frac{10 \pm \sqrt{1374}}{2 \times 4.9} \]
Вычислим \(\sqrt{1374}\):
\[ \sqrt{1374} \approx 37.05 \]
Теперь два корня:
\[ t_1 = \frac{10 + 37.05}{9.8} \approx \frac{47.05}{9.8} \approx 4.80\,\text{с} \] \[ t_2 = \frac{10 - 37.05}{9.8} \approx \frac{-27.05}{9.8} \approx -2.76\,\text{с} \]
Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем только положительный:
\[ \boxed{ t \approx 4.80\,с } \]
Ответ на первый вопрос: камень достигнет основания утеса через примерно 4.80 секунд.
Шаг 4. Расчет скорости перед ударом о землю
Чтобы найти скорость в момент удара, используем уравнение для скорости:
\[ v(t) = v_0 - g t \]
Подставим \(t \approx 4.80\,с\):
\[ v = 10 - 9.8 \times 4.80 \approx 10 - 47.04 = -37.04\,м/с \]
Знак минус означает, что скорость направлена вниз.
Итоговые ответы:
- Время достижения основания утеса: около 4.80 секунд
- Скорость камня перед ударом о землю: примерно 37 м/с вниз.
Если нужны более точные вычисления или пояснения — обращайтесь!
