Давайте разберёмся с задачей поэтапно.
Дано:
- Исходный отрезок проволоки с сопротивлением ( r_1 ) и длиной ( l_1 ).
- После механической обработки получен отрезок с длиной ( l_2 = 2l_1 ) и сопротивлением ( r_2 ).
- Поперечное сечение после обработки — постоянное (то есть однородное).
Нам нужно найти отношение ( \frac{r_2}{r_1} ).
Шаг 1. Связь сопротивления с геометрическими размерами
Сопротивление проводника определяется формулой:
[
R = \rho \frac{l}{S}
]
где:
- ( R ) — сопротивление,
- ( \rho ) — удельное сопротивление материала (для исходного и конечного участка одинаковое),
- ( l ) — длина проводника,
- ( S ) — площадь поперечного сечения.
Поскольку материал не изменился, ( \rho ) одинаковое для обоих участков.
Шаг 2. Сопротивление исходного отрезка
[
r_1 = \rho \frac{l_1}{S_1}
]
Обозначим:
- ( S_1 ) — исходная площадь поперечного сечения.
Шаг 3. Сопротивление обработанного отрезка
После обработки, у нас есть тот же материал, но с постоянным поперечным сечением ( S_2 ).
[
r_2 = \rho \frac{l_2}{S_2}
]
Также известно, что длина после обработки:
[
l_2 = 2 l_1
]
Шаг 4. Связь между сечениями ( S_1 ) и ( S_2 )
Т.к. при механической обработке площадь поперечного сечения может измениться, нужно учесть, как об этом скажется сопротивление.
Предположим, что весь материал остаётся, и его объем не меняется:
[
V = S_1 \times l_1 = S_2 \times l_2
]
отсюда:
[
S_2 = \frac{S_1 \times l_1}{l_2}
]
Подставим ( l_2 = 2 l_1 ):
[
S_2 = \frac{S_1 \times l_1}{2 l_1} = \frac{S_1}{2}
]
Таким образом, после обработки сечение удвоилось (площадь поперечного сечения увеличилась в 2 раза, если объем не меняется).
Шаг 5. Выразим ( r_2 )
Подставим ( S_2 ):
[
r_2 = \rho \frac{l_2}{S_2} = \rho \frac{2 l_1}{S_1 / 2} = \rho \frac{2 l_1 \times 2}{S_1} = \rho \frac{4 l_1}{S_1}
]
Теперь вспомним, что:
[
r_1 = \rho \frac{l_1}{S_1}
]
Поэтому:
[
r_2 = 4 \times \left( \rho \frac{l_1}{S_1} \right) = 4 r_1
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{r_2}{r_1} = 4
}
]
То есть сопротивление нового отрезка в 4 раза больше исходного.
