Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Эту цифру переставили в начало числа. Полученное число оказалось на 234 больше исходного. Найдите исходное число

Рассмотрим задачу:
Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Мы переставляем эту цифру в начало числа, и при этом новое число оказывается на 234 больше исходного. Нужно найти исходное число.

Обозначим исходное число как \( \text{XYZ} \), где:

• \( X \) — первая цифра (от 1 до 9, поскольку число трёхзначное),
• \( Y \) — вторая цифра (от 0 до 9),
• \( Z = 7 \) — третья цифра (по условию).

Следовательно, исходное число:
\[ 100X + 10Y + 7 \]

Когда цифру 7 переставляют в начало, полученное число:
\[ 700 + 10X + Y \]

По условию:
\[ 700 + 10X + Y = (100X + 10Y + 7) + 234 \]

Теперь решим уравнение:

\[ 700 + 10X + Y = 100X + 10Y + 7 + 234 \]

Обратим внимание, что 7 и 234 можно сложить:
\[ 700 + 10X + Y = 100X + 10Y + 241 \]

Перенесем все с одной стороны:
\[ 700 + 10X + Y - 100X - 10Y = 241 \]

Группируем подобные члены:
\[ 700 + (10X - 100X) + (Y - 10Y) = 241 \] \[ 700 - 90X - 9Y = 241 \]

Перенесем 241 на левую сторону:
\[ 700 - 241 = 90X + 9Y \] \[ 459 = 90X + 9Y \]

Выразим \( 90X + 9Y \):
\[ 90X + 9Y = 459 \]

Разделим обе части уравнения на 9:
\[ 10X + Y = 51 \]

Теперь рассмотрим возможные значения:

• \( X \) — цифра от 1 до 9,
• \( Y \) — цифра от 0 до 9,
• и сумма \( 10X + Y = 51 \).

Найдем подходящие \( X \) и \( Y \):

\[ 10X + Y = 51 \]

Пусть \( X = 5 \), тогда:
\[ 10 \times 5 + Y = 51 \Rightarrow 50 + Y = 51 \Rightarrow Y = 1 \]

Проверим, что \( Y=1 \) допустимо (от 0 до 9), да, подходит.

Также \( X=5 \), что подходит для первой цифры трёхзначного числа.

Подставим обратно и проверим исходное число:

• Исходное число: \( 100 \times 5 + 10 \times 1 + 7 = 500 + 10 + 7 = 517 \).

Переставляем цифру 7 в начало: число становится \( 700 + 10 \times 5 + 1 = 700 + 50 + 1 = 751 \).

Проверим разницу:
\[ 751 - 517 = 234 \]

Совпадает с условием.

Ответ: исходное число — 517.