Рассмотрим задачу:
Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Мы переставляем эту цифру в начало числа, и при этом новое число оказывается на 234 больше исходного. Нужно найти исходное число.
Обозначим исходное число как ( \text{XYZ} ), где:
- ( X ) — первая цифра (от 1 до 9, поскольку число трёхзначное),
- ( Y ) — вторая цифра (от 0 до 9),
- ( Z = 7 ) — третья цифра (по условию).
Следовательно, исходное число:
[
100X + 10Y + 7
]
Когда цифру 7 переставляют в начало, полученное число:
[
700 + 10X + Y
]
По условию:
[
700 + 10X + Y = (100X + 10Y + 7) + 234
]
Теперь решим уравнение:
[
700 + 10X + Y = 100X + 10Y + 7 + 234
]
Обратим внимание, что 7 и 234 можно сложить:
[
700 + 10X + Y = 100X + 10Y + 241
]
Перенесем все с одной стороны:
[
700 + 10X + Y - 100X - 10Y = 241
]
Группируем подобные члены:
[
700 + (10X - 100X) + (Y - 10Y) = 241
]
[
700 - 90X - 9Y = 241
]
Перенесем 241 на левую сторону:
[
700 - 241 = 90X + 9Y
]
[
459 = 90X + 9Y
]
Выразим ( 90X + 9Y ):
[
90X + 9Y = 459
]
Разделим обе части уравнения на 9:
[
10X + Y = 51
]
Теперь рассмотрим возможные значения:
- ( X ) — цифра от 1 до 9,
- ( Y ) — цифра от 0 до 9,
- и сумма ( 10X + Y = 51 ).
Найдем подходящие ( X ) и ( Y ):
[
10X + Y = 51
]
Пусть ( X = 5 ), тогда:
[
10 \times 5 + Y = 51 \Rightarrow 50 + Y = 51 \Rightarrow Y = 1
]
Проверим, что ( Y=1 ) допустимо (от 0 до 9), да, подходит.
Также ( X=5 ), что подходит для первой цифры трёхзначного числа.
Подставим обратно и проверим исходное число:
- Исходное число: ( 100 \times 5 + 10 \times 1 + 7 = 500 + 10 + 7 = 517 ).
Переставляем цифру 7 в начало: число становится ( 700 + 10 \times 5 + 1 = 700 + 50 + 1 = 751 ).
Проверим разницу:
[
751 - 517 = 234
]
Совпадает с условием.
Ответ: исходное число — 517.
