В прямоугольном треугольнике периметр и гипотенуза равны 60 см и 26 см соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника и радиус окружности, вписанной в треугольник.

Давайте решим задачу по шагам. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с периметром \( P = 60 \) см и гипотенузой \( c = 26 \) см. Нужно найти радиус описанной окружности \( R \) и радиус вписанной окружности \( r \). **Шаг 1. Обозначения и исходные данные** Обозначим катеты треугольника как \( a \) и \( b \). Дано: \[ a + b + c = 60 \quad \Rightarrow \quad a + b + 26 = 60 \] Отсюда: \[ a + b = 60 - 26 = 34 \] Также: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 26^2 = 676 \] Нам нужно найти \( a \) и \( b \). **Шаг 2. Решение системы уравнений** Имеем систему: \[ \begin{cases} a + b = 34 \\ a^2 + b^2 = 676 \end{cases} \] Выразим \( b \) через \( a \): \[ b = 34 - a \] Подставим в второе уравнение: \[ a^2 + (34 - a)^2 = 676 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (1156 - 68a + a^2) = 676 \] \[ a^2 + 1156 - 68a + a^2 = 676 \] \[ 2a^2 - 68a + 1156 = 676 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 2a^2 - 68a + 1156 - 676 = 0 \] \[ 2a^2 - 68a + 480 = 0 \] Разделим на 2: \[ a^2 - 34a + 240 = 0 \] Решим квадратичное уравнение: \[ a = \frac{34 \pm \sqrt{(-34)^2 - 4 \times 1 \times 240}}{2} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 34^2 - 4 \times 240 = 1156 - 960 = 196 \] \(\sqrt{D} = 14\) Тогда: \[ a = \frac{34 \pm 14}{2} \] Два варианта: 1. \( a = \frac{34 + 14}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) 2. \( a = \frac{34 - 14}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) Следовательно: - Если \( a = 24 \), тогда \( b = 34 - 24 = 10 \) - Или \( a = 10 \), тогда \( b = 24 \) Итоги: параметры треугольника: - Катеты: 24 и 10 - Гипотенуза: 26 **Шаг 3. Радиус описанной окружности \( R \)** Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности связан с гипотенузой: \[ R = \frac{c}{2} \] Потому что у прямого треугольника радиус окружности, описанной около него, равен половине гипотенузы. Значит: \[ R = \frac{26}{2} = 13 \text{ см} \] **Шаг 4. Радиус вписанной окружности \( r \)** Формула радиуса вписанной окружности для любого треугольника: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр. **Вычислим площадь \( S \):** \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 24 \times 10 = 120 \] Полупериметр уже известен: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{60}{2} = 30 \] Тогда радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{120}{30} = 4 \text{ см} \] --- ### Итоговые ответы: - Радиус описанной окружности: \(\boxed{13 \text{ см}}\) - Радиус вписанной окружности: \(\boxed{4 \text{ см}}\) Если есть вопросы или нужно объяснить подробнее — скажи!