В прямоугольном треугольнике периметр и гипотенуза равны 60 см и 26 см соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника и радиус окружности, вписанной в…

Давайте решим задачу по шагам. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с периметром \( P = 60 \) см и гипотенузой \( c = 26 \) см. Нужно найти радиус описанной окружности \( R \) и радиус вписанной окружности \( r \).

Шаг 1. Обозначения и исходные данные

Обозначим катеты треугольника как \( a \) и \( b \).

Дано: \[ a + b + c = 60 \quad \Rightarrow \quad a + b + 26 = 60 \] Отсюда: \[ a + b = 60 - 26 = 34 \]

Также: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 26^2 = 676 \]

Нам нужно найти \( a \) и \( b \).

Шаг 2. Решение системы уравнений

Имеем систему: \[ \begin{cases} a + b = 34 \\ a^2 + b^2 = 676 \end{cases} \]

Выразим \( b \) через \( a \): \[ b = 34 - a \]

Подставим в второе уравнение: \[ a^2 + (34 - a)^2 = 676 \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + (1156 - 68a + a^2) = 676 \] \[ a^2 + 1156 - 68a + a^2 = 676 \] \[ 2a^2 - 68a + 1156 = 676 \]

Перенесем все в левую сторону: \[ 2a^2 - 68a + 1156 - 676 = 0 \] \[ 2a^2 - 68a + 480 = 0 \]

Разделим на 2: \[ a^2 - 34a + 240 = 0 \]

Решим квадратичное уравнение: \[ a = \frac{34 \pm \sqrt{(-34)^2 - 4 \times 1 \times 240}}{2} \]

Вычислим дискриминант: \[ D = 34^2 - 4 \times 240 = 1156 - 960 = 196 \]

\(\sqrt{D} = 14\)

Тогда: \[ a = \frac{34 \pm 14}{2} \]

Два варианта:

1. \( a = \frac{34 + 14}{2} = \frac{48}{2} = 24 \)
2. \( a = \frac{34 - 14}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

Следовательно:

• Если \( a = 24 \), тогда \( b = 34 - 24 = 10 \)
• Или \( a = 10 \), тогда \( b = 24 \)

Итоги: параметры треугольника:

• Катеты: 24 и 10
• Гипотенуза: 26

Шаг 3. Радиус описанной окружности \( R \)

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности связан с гипотенузой: \[ R = \frac{c}{2} \]

Потому что у прямого треугольника радиус окружности, описанной около него, равен половине гипотенузы.

Значит: \[ R = \frac{26}{2} = 13 \text{ см} \]

Шаг 4. Радиус вписанной окружности \( r \)

Формула радиуса вписанной окружности для любого треугольника: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр.

Вычислим площадь \( S \): \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 24 \times 10 = 120 \]

Полупериметр уже известен: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{60}{2} = 30 \]

Тогда радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{120}{30} = 4 \text{ см} \]

Итоговые ответы:

• Радиус описанной окружности: \(\boxed{13 \text{ см}}\)
• Радиус вписанной окружности: \(\boxed{4 \text{ см}}\)

Если есть вопросы или нужно объяснить подробнее — скажи!