Рассмотрим задачу: заряд двух точечных тел уменьшили в 4 раза, а расстояние между ними — в 3 раза. Нужно определить, во сколько раз изменится их электростатическая потенциальная энергия взаимодействия.
Обозначим исходные параметры:
- Пусть первоначальные заряды тел: ( q_1 ) и ( q_2 ).
- Исходное расстояние между ними: ( r ).
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов задается формулой:
[
U = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{r}
]
где ( k ) — константа (бесконечная постоянная, она не меняется).
1. Новые параметры:
- Заряды после уменьшения: ( q'_1 = \frac{q_1}{4}, \quad q'_2 = \frac{q_2}{4} ).
- Расстояние после уменьшения: ( r' = \frac{r}{3} ).
2. Новая потенциальная энергия:
[
U' = \frac{k \cdot q'_1 \cdot q'_2}{r'}
]
Подставим значения:
[
U' = \frac{k \cdot \frac{q_1}{4} \cdot \frac{q_2}{4}}{\frac{r}{3}} = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{16} \div \frac{r}{3} = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{16} \times \frac{3}{r}
]
Теперь упростим:
[
U' = \frac{3k \cdot q_1 \cdot q_2}{16r}
]
3. Определим отношение новой энергии к исходной:
Исходная энергия:
[
U = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{r}
]
Новая энергия:
[
U' = \frac{3k \cdot q_1 \cdot q_2}{16r}
]
Разделим ( U' ) на ( U ):
[
\frac{U'}{U} = \frac{\frac{3k q_1 q_2}{16 r}}{\frac{k q_1 q_2}{r}} = \frac{3k q_1 q_2}{16 r} \times \frac{r}{k q_1 q_2} = \frac{3}{16}
]
Ответ:
Потенциальная энергия взаимодействия уменьшится в (\frac{16}{3}) раз.
Или, другими словами, новая энергия составляет (\frac{3}{16}) исходной, — энергия уменьшилась примерно в 5,33 раза.
