Давайте разберём задачу по шагам.
Дано:
- Треугольник ( P R S ) с вершинами:
[
P(-1, 6), \quad R(-3, 3), \quad S(1, 2)
]
- Треугольник ( P_1 R_1 S_1 ) является симметричным треугольнику ( P R S ) относительно точки ( O(2, 7) ).
Задача:
Найти координаты точек ( P_1, R_1 ) и ( S_1 ).
Что значит "треугольник симметричен относительно точки"?
Это означает, что для каждой точки ( A(x, y) ) треугольника ищем точку ( A_1(x_1, y_1) ), которая является зеркальным отображением относительно точки ( O ).
То есть, точка ( O ) — середина отрезка ( AA_1 ).
Формула для отражения точки относительно точки ( O ):
Если точка ( A(x, y) ) симметрична относительно точки ( O(x_0, y_0) ), то её зеркальное отображение ( A_1(x_1, y_1) ) находится по формуле:
[
x_1 = 2x_0 - x
]
[
y_1 = 2y_0 - y
]
Подставляем данные в формулу:
Для точки ( P(-1, 6) ):
[
x_{P_1} = 2 \times 2 - (-1) = 4 + 1 = 5
]
[
y_{P_1} = 2 \times 7 - 6 = 14 - 6 = 8
]
Итак,:
[
P_1(5, 8)
]
Для точки ( R(-3, 3) ):
[
x_{R_1} = 2 \times 2 - (-3) = 4 + 3 = 7
]
[
y_{R_1} = 14 - 3 = 11
]
Получаем:
[
R_1(7, 11)
]
Для точки ( S(1, 2) ):
[
x_{S_1} = 4 + (-1) = 3
]
[
y_{S_1} = 14 - 2 = 12
]
Итак:
[
S_1(3, 12)
]
Итог:
[
\boxed{
P_1(5, 8), \quad R_1(7, 11), \quad S_1(3, 12)
}
]
Если нужно, я могу помочь с более подробным объяснением или проверкой.
