Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на…

Давайте разберем задачу пошагово и определим, когда лучше всего продать ценную бумагу, чтобы через 25 лет сумма на счету была максимальной.

Дано:

• Стартовая цена бумаги: 8 000 рублей.
• Цена бумаги увеличивается на 1 000 рублей каждый год.
• После продажи бумаги и вклада вырученных денег на счет с ежегодным приростом 8%.

Что нужно найти:

• Определить, через какой год после покупки стоит продать бумагу, чтобы сумма на счету после 25 лет находилась на максимуме.

---

Шаг 1: Модель ценной бумаги

Цена бумаги в год \( t \): \[ P(t) = 8000 + 1000 \times (t - 1) \] где \( t \) — год с момента покупки (1 — первый год, 2 — второй и т.д., до 25).

• В год 1: \( P(1) = 8000 \)
• В год 2: \( P(2) = 9000 \)
• В год \( t \): \( P(t) = 8000 + 1000 (t - 1) \)

---

Шаг 2: Модель вклада

Пусть мы решили продать бумагу в год \( k \) (где \( 1 \leq k \leq 25 \)).

• После продажи в год \( k \) вы получаете сумму \( P(k) \).
• Далее эта сумма вкладывается на депозит со ставкой 8% ежегодно.
• Прошло \( 25 - k \) лет после продажи (ведь через 25 лет после покупки потребуется знать финальную сумму).

Формула накопления на счету через \( n = 25 - k \) лет: \[ S(k) = P(k) \times (1 + 0.08)^n \]

Итак, \[ S(k) = \left(8000 + 1000 \times (k - 1)\right) \times (1.08)^{25 - k} \]

---

Шаг 3: Задача сводится к поиску максимума функции \( S(k) \).

Нам нужно найти \( k \), при котором \[ S(k) = \left(8000 + 1000 (k - 1)\right) \times (1.08)^{25 - k} \] максимально.

Перепишем: \[ S(k) = (8000 + 1000k - 1000) \times (1.08)^{25 - k} = (7000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \]

---

Шаг 4: Проведем проверку для целых значений \( k \) от 1 до 25.

Поскольку \( k \) — целое, можно просто посчитать значения для каждого \( k \):

\[ S(k) = (7000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \]

Поскольку точное аналитическое решение не так просто, сделаем таблицу для нескольких значений.

---

Шаг 5: Расчет значений

Используем калькулятор или примерные вычисления.

\(k\)	Цена бумаги в год \(k\), \(P(k)\)	Количество лет вклада \(n=25-k\)	\(\(1.08)^{n}\))	\(S(k)\)
1	8000	24	\(1.08^{24}\)	?
2	9000	23	\(1.08^{23}\)	?
3	10000	22	\(1.08^{22}\)	?
...	...	...	...	...
25	8000 + 1000*24=32000	0	\(1.08^{0}=1\)	?

Рассчитаем отдельно для нескольких значений.

---

Шаг 6: Пример расчетов

Для \(k=1\):

\[ P(1)=8000, \quad n=24 \] \[ S(1)=8000 \times 1.08^{24} \]

\[ 1.08^{24} \approx e^{24 \ln 1.08} \approx e^{24 \times 0.076961} \approx e^{1.847} \approx 6.34 \] \[ S(1) \approx 8000 \times 6.34 \approx 50\,720 \]

Для \(k=2\):

\[ P(2)=9000, \quad n=23 \] \[ 1.08^{23} \approx e^{23 \times 0.076961} \approx e^{1.772} \approx 5.88 \] \[ S(2)=9000 \times 5.88 \approx 52\,920 \]

Для \(k=3\):

\[ P(3)=10,000, \quad n=22 \] \[ 1.08^{22} \approx e^{22 \times 0.076961} \approx e^{1.692} \approx 5.44 \] \[ S(3)=10\,000 \times 5.44 \approx 54\,400 \]

Для \(k=4\):

\[ P(4)=11,000, \quad n=21 \] \[ 1.08^{21} \approx e^{21 \times 0.076961} \approx e^{1.614} \approx 5.02 \] \[ S(4)=11\,000 \times 5.02 \approx 55\,220 \]

И так далее.

Можно заметить, что значение растет при увеличении \(k\) до некоторого предела, затем начнет убывать.

---

Шаг 7: Итоговые значения (пример)

Проведя аналогичные расчеты для остальных \(k\), мы увидим, что максимум достигается примерно на середине или ближе к концу диапазона.

При приведенных расчетах видно, что \(S(k)\) увеличивается до примерно \(k=4-5\). Тогда стоит проверить значения:

• \(k=5\):

\[ P(5)=12\,000, \quad n=20 \] \[ 1.08^{20} \approx e^{20 \times 0.076961} \approx e^{1.539} \approx 4.66 \] \[ S(5)=12\,000 \times 4.66 \approx 55\,920 \]

Средне по мере роста \(k\):

• \(k=6\):

\[ P(6)=13\,000, \quad n=19 \] \[ 1.08^{19} \approx e^{19 \times 0.076961} \approx e^{1.464} \approx 4.32 \] \[ S(6)=13\,000 \times 4.32 \approx 56\,160 \]

Похоже, что максимум достигается примерно при \(k=6\).

---

Итог:

Максимум получается около \(k=6\), то есть:

Ценную бумагу стоит продавать примерно в 6-м году после покупки.

---

Ответ:

Алексей должен продать бумагу примерно в 6-м году после покупки, чтобы сумма на банковском счёте через 25 лет после покупки была максимально возможной.