Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Давайте разберем задачу пошагово и определим, когда лучше всего продать ценную бумагу, чтобы через 25 лет сумма на счету была максимальной. **Дано:** - Стартовая цена бумаги: 8 000 рублей. - Цена бумаги увеличивается на 1 000 рублей каждый год. - После продажи бумаги и вклада вырученных денег на счет с ежегодным приростом 8%. **Что нужно найти:** - Определить, через какой год после покупки стоит продать бумагу, чтобы сумма на счету после 25 лет находилась на максимуме. --- ## Шаг 1: Модель ценной бумаги Цена бумаги в год \( t \): \[ P(t) = 8000 + 1000 \times (t - 1) \] где \( t \) — год с момента покупки (1 — первый год, 2 — второй и т.д., до 25). - В год 1: \( P(1) = 8000 \) - В год 2: \( P(2) = 9000 \) - В год \( t \): \( P(t) = 8000 + 1000 (t - 1) \) --- ## Шаг 2: Модель вклада Пусть мы решили продать бумагу в год \( k \) (где \( 1 \leq k \leq 25 \)). - После продажи в год \( k \) вы получаете сумму \( P(k) \). - Далее эта сумма вкладывается на депозит со ставкой 8% ежегодно. - Прошло \( 25 - k \) лет после продажи (ведь через 25 лет после покупки потребуется знать финальную сумму). Формула накопления на счету через \( n = 25 - k \) лет: \[ S(k) = P(k) \times (1 + 0.08)^n \] Итак, \[ S(k) = \left(8000 + 1000 \times (k - 1)\right) \times (1.08)^{25 - k} \] --- ## Шаг 3: Задача сводится к поиску максимума функции \( S(k) \). Нам нужно найти \( k \), при котором \[ S(k) = \left(8000 + 1000 (k - 1)\right) \times (1.08)^{25 - k} \] максимально. Перепишем: \[ S(k) = (8000 + 1000k - 1000) \times (1.08)^{25 - k} = (7000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \] --- ## Шаг 4: Проведем проверку для целых значений \( k \) от 1 до 25. Поскольку \( k \) — целое, можно просто посчитать значения для каждого \( k \): \[ S(k) = (7000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \] Поскольку точное аналитическое решение не так просто, сделаем таблицу для нескольких значений. --- ## Шаг 5: Расчет значений Используем калькулятор или примерные вычисления. | \(k\) | Цена бумаги в год \(k\), \(P(k)\) | Количество лет вклада \(n=25-k\) | \(\(1.08)^{n}\)\) | \(S(k)\) | |--------|------------------------------|------------------|------------------|------------| | 1 | 8000 | 24 | \(1.08^{24}\) | ? | | 2 | 9000 | 23 | \(1.08^{23}\) | ? | | 3 | 10000 | 22 | \(1.08^{22}\) | ? | | ... | ... | ... | ... | ... | | 25 | 8000 + 1000*24=32000 | 0 | \(1.08^{0}=1\) | ? | Рассчитаем отдельно для нескольких значений. --- ## Шаг 6: Пример расчетов ### Для \(k=1\): \[ P(1)=8000, \quad n=24 \] \[ S(1)=8000 \times 1.08^{24} \] \[ 1.08^{24} \approx e^{24 \ln 1.08} \approx e^{24 \times 0.076961} \approx e^{1.847} \approx 6.34 \] \[ S(1) \approx 8000 \times 6.34 \approx 50\,720 \] ### Для \(k=2\): \[ P(2)=9000, \quad n=23 \] \[ 1.08^{23} \approx e^{23 \times 0.076961} \approx e^{1.772} \approx 5.88 \] \[ S(2)=9000 \times 5.88 \approx 52\,920 \] ### Для \(k=3\): \[ P(3)=10,000, \quad n=22 \] \[ 1.08^{22} \approx e^{22 \times 0.076961} \approx e^{1.692} \approx 5.44 \] \[ S(3)=10\,000 \times 5.44 \approx 54\,400 \] ### Для \(k=4\): \[ P(4)=11,000, \quad n=21 \] \[ 1.08^{21} \approx e^{21 \times 0.076961} \approx e^{1.614} \approx 5.02 \] \[ S(4)=11\,000 \times 5.02 \approx 55\,220 \] **И так далее.** Можно заметить, что значение растет при увеличении \(k\) до некоторого предела, затем начнет убывать. --- ## Шаг 7: Итоговые значения (пример) Проведя аналогичные расчеты для остальных \(k\), мы увидим, что максимум достигается примерно на середине или ближе к концу диапазона. При приведенных расчетах видно, что \(S(k)\) увеличивается до примерно \(k=4-5\). Тогда стоит проверить значения: - \(k=5\): \[ P(5)=12\,000, \quad n=20 \] \[ 1.08^{20} \approx e^{20 \times 0.076961} \approx e^{1.539} \approx 4.66 \] \[ S(5)=12\,000 \times 4.66 \approx 55\,920 \] **Средне по мере роста \(k\):** - \(k=6\): \[ P(6)=13\,000, \quad n=19 \] \[ 1.08^{19} \approx e^{19 \times 0.076961} \approx e^{1.464} \approx 4.32 \] \[ S(6)=13\,000 \times 4.32 \approx 56\,160 \] Похоже, что максимум достигается примерно при \(k=6\). --- ## Итог: Максимум получается около \(k=6\), то есть: **Ценную бумагу стоит продавать примерно в 6-м году после покупки.** --- ## **Ответ:** **Алексей должен продать бумагу примерно в 6-м году после покупки, чтобы сумма на банковском счёте через 25 лет после покупки была максимально возможной.**