Давайте подробно разберем задачу о движении теплохода и найдем скорость течения реки.
Дано:
- Расстояние до пункта назначения: 175 км
- Скорость теплохода в неподвижной воде: 30 км/ч
- Время стоянки: 3 часа
- Общее время от отплытия до возвращения: 15 часов
- Теплоход плывет против течения до пункта назначения и затем возвращается обратно, после стоянки.
Шаг 1: Обозначим переменные
- ( v ) — скорость течения реки (что нужно найти)
- ( v_{t} = 30 ) км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде
Шаг 2: Выразим скорости движения
- Против течения: скорость теплохода — ( v_{пр} = v_{t} - v = 30 - v ) км/ч
- По течению: скорость — ( v_{по} = v_{t} + v = 30 + v ) км/ч
Шаг 3: Время движения туда и обратно
- Время для пути туда (против течения):
[
t_{пр} = \frac{175}{30 - v}
]
- Время для пути обратно (по течению):
[
t_{по} = \frac{175}{30 + v}
]
Шаг 4: Общий временной расход
Общий маршрут включает:
- Время в пути до пункта назначения ( t_{пр} ),
- Стоянку — 3 часа,
- Время в пути обратно ( t_{по} ).
Общее время:
[
t_{пр} + t_{по} + 3 = 15
]
Подставим выражения:
[
\frac{175}{30 - v} + \frac{175}{30 + v} + 3 = 15
]
Шаг 5: Решим уравнение
Вычитим 3 из обеих частей:
[
\frac{175}{30 - v} + \frac{175}{30 + v} = 12
]
Обозначим:
[
A = 30 - v,\quad B = 30 + v
]
Тогда:
[
\frac{175}{A} + \frac{175}{B} = 12
]
Общий знаменатель:
[
\frac{175B + 175A}{AB} = 12
]
или
[
175(B + A) = 12 AB
]
Подставляем значения (A) и (B):
[
A + B = (30 - v) + (30 + v) = 60
]
[
AB = (30 - v)(30 + v) = 30^2 - v^2 = 900 - v^2
]
Получаем:
[
175 \times 60 = 12 (900 - v^2)
]
Раскрываем скобки:
[
10500 = 10800 - 12 v^2
]
Перенесем все в левую часть:
[
12 v^2 = 10800 - 10500 = 300
]
Найдем ( v^2 ):
[
v^2 = \frac{300}{12} = 25
]
Следовательно,
[
v = \pm 5
]
Так как скорость течения не может быть отрицательной (и отрицательное значение тут не имеет смысла), получаем:
[
\boxed{
v = 5, \text{км/ч}
}
]
Ответ:
Скорость течения реки — 5 км/ч.
Если что-то непонятно или нужно подробнее — скажите!
