Правильный шестиугольник A B C D E F ABCDEF вписан в окружность с центром O O . Доказано, что A C D F ACDF — прямоугольник. Восстанови верную последовательность этапов…
Правильный шестиугольник A B C D E F ABCDEF вписан в окружность с центром O O. Доказано, что A C D F ACDF — прямоугольник. Восстанови верную последовательность этапов доказательства. Запиши в каждое поле ответа порядковый номер этапа доказательства без точки (например: 1). ⌣ A B D = ⌣ A B + ⌣ B C + ⌣ C D = 18 0 ∘ ⌣ABD=⌣AB+⌣BC+⌣CD=180 ∘ . Докажем, что в четырёхугольнике A C D F ACDF противолежащие стороны равны и хотя бы один угол прямой. A F = C D AF=CD, ведь это стороны правильного шестиугольника. Так как правильный шестиугольник вписан в окружность, то все его вершины лежат на окружности и делят её на шесть равных дуг: ⌣ A B = ⌣ B C = . . . = ⌣ F A = 36 0 ∘ 6 = 6 0 ∘ ⌣AB=⌣BC=...=⌣FA= 6 360 ∘ =60 ∘ . A B = B C = D E = E F AB=BC=DE=EF, ведь это стороны правильного шестиугольника. ∠ A B C = ∠ D E F = 72 0 ∘ 6 = 12 0 ∘ ∠ABC=∠DEF= 6 720 ∘ =120 ∘ , потому что это углы правильного шестиугольника. Следовательно, △ A B C = △ D E F △ABC=△DEF. Тогда C A = D F CA=DF. ∠ A F D = 1 2 ⌣ A B D = 9 0 ∘ ∠AFD= 2 1 ⌣ABD=90 ∘ , так как это вписанный угол. Следовательно, A C D F ACDF — прямоугольник. Рассмотрим треугольники A B C ABC и D E F DEF. Что и требовалось доказать.
Давайте разобьём доказательство на последовательные этапы и восстановим порядок:
Вписанный шестиугольник ABCDEF, центр окружности O, и все вершины делят окружность на равные дуги по 60°. Следовательно,
Этап 1: отмечаем, что дуги между соседними вершинами равны по 60°, и, следовательно, все соответствующие углы при центрах равны по 60°.
→ Ответ: 1Из того, что ABCDEF — правильный шестиугольник, все стороны равны, и все дуги между вершинами равны по 60°. Тогда стороны AB, BC, DE, EF равны, также все внутренние углы у него равны по 120°.
→ Ответ: 2Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Поскольку все соответствующие стороны равны (например, AB = DE, BC = EF), и дуги равны, то эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
→ Ответ: 3Тогда, из равенства треугольников ABC и DEF следует равенство соответствующих сторон: CA = DF.
→ Ответ: 4Докажем, что четырехугольник ACDF является прямоугольником. Для этого покажем, что одна пара противоположных сторон равна и хотя бы один угол равен 90°. В частности, ∠AFD — вписанный угол, опирающийся на дугу ABD, которая равна 90°, так как это центральная дуга, делённая на 2. Значит, ∠AFD = 90°, а угол ∠ACD — равен ∠AFD, так как он вписанный, и он — прямой. Тогда за счёт равенства сторон, AC=DF.
→ Ответ: 5Таким образом, ACDF — четырехугольник с противоположными сторонами равными и одним прямым углом, что и есть определение прямоугольника.
→ Ответ: 6
ИТОГОВАЯ последовательность этапов:
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6
