2184
Рассмотрим задачу 1284, которая связана с упрощением алгебраического выражения.
Задача: упростить выражение и указать допустимые значения переменных.
Записание исходного выражения:
\[ \frac{\left( p^2 - \frac{1}{q^2} \right)^{p} \left( p - \frac{1}{q} \right)^{q - p}}{\left( q^2 - \frac{1}{p^2} \right)^{q} \left( q + \frac{1}{p} \right)^{p - q}} \]
Анализ и упрощение:
- Формулы для преобразования:
- Разделим часть в числителе:
\[ \left( p^2 - \frac{1}{q^2} \right)^p \quad \text{и} \quad \left( p - \frac{1}{q} \right)^{q - p} \]
- и в знаменателе:
\[ \left( q^2 - \frac{1}{p^2} \right)^q \quad \text{и} \quad \left( q + \frac{1}{p} \right)^{p - q} \]
- Перепишем скобки:
Заметим, что:
\[ p^2 - \frac{1}{q^2} = \left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right) \]
Это факторизация разности квадратов.
Аналогично:
\[ q^2 - \frac{1}{p^2} = \left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right) \]
- Подставим это обратно:
\[ \frac{\left[\left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)\right]^p \left( p - \frac{1}{q} \right)^{q - p}}{\left[\left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)\right]^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p - q}} \]
- Объединим подобные множители:
\[ = \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p + \frac{1}{q}\right)^p \times \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q - p}}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^q \times \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p - q}} \]
- Объединим степени одинаковых выражений:
- В числителе:
\[ (p - \frac{1}{q})^{p + (q - p)} = (p - \frac{1}{q})^{q} \]
- Аналогично в знаменателе:
\[ (q + \frac{1}{p})^{q + (p - q)} = (q + \frac{1}{p})^{p} \]
Получаем:
\[ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p} \]
- Дальнейшее упрощение:
Обратим внимание, что у нас есть подобные выражения в виде степеней:
\[ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q} \]
и
\[ \frac{\left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q + \frac{1}{p}\right)^p} \]
В итоге выражение равно:
\[ \left( \frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}} \right)^q \times \left( \frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}} \right)^p \]
Итоговая форма:
\[ \boxed{ \left( \frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}} \right)^q \times \left( \frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}} \right)^p } \]
Допустимые значения переменных:
- \( p \) и \( q \) должны быть такие, чтобы были определены деления на ноль, т.е.:
\[ q \neq 0,\quad p \neq 0,\quad p q \neq 1 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более конкретное объяснение, пишите!
