2184

Рассмотрим задачу 1284, которая связана с упрощением алгебраического выражения. Задача: упростить выражение и указать допустимые значения переменных. --- ### Записание исходного выражения: \[ \frac{\left( p^2 - \frac{1}{q^2} \right)^{p} \left( p - \frac{1}{q} \right)^{q - p}}{\left( q^2 - \frac{1}{p^2} \right)^{q} \left( q + \frac{1}{p} \right)^{p - q}} \] --- ### Анализ и упрощение: 1. **Формулы для преобразования:** - Разделим часть в числителе: \[ \left( p^2 - \frac{1}{q^2} \right)^p \quad \text{и} \quad \left( p - \frac{1}{q} \right)^{q - p} \] - и в знаменателе: \[ \left( q^2 - \frac{1}{p^2} \right)^q \quad \text{и} \quad \left( q + \frac{1}{p} \right)^{p - q} \] 2. **Перепишем скобки:** Заметим, что: \[ p^2 - \frac{1}{q^2} = \left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right) \] Это факторизация разности квадратов. Аналогично: \[ q^2 - \frac{1}{p^2} = \left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right) \] 3. **Подставим это обратно:** \[ \frac{\left[\left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)\right]^p \left( p - \frac{1}{q} \right)^{q - p}}{\left[\left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)\right]^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p - q}} \] 4. **Объединим подобные множители:** \[ = \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p + \frac{1}{q}\right)^p \times \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q - p}}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^q \times \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p - q}} \] 5. **Объединим степени одинаковых выражений:** - В числителе: \[ (p - \frac{1}{q})^{p + (q - p)} = (p - \frac{1}{q})^{q} \] - Аналогично в знаменателе: \[ (q + \frac{1}{p})^{q + (p - q)} = (q + \frac{1}{p})^{p} \] Получаем: \[ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p} \] 6. **Дальнейшее упрощение:** Обратим внимание, что у нас есть подобные выражения в виде степеней: \[ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q} \] и \[ \frac{\left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q + \frac{1}{p}\right)^p} \] В итоге выражение равно: \[ \left( \frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}} \right)^q \times \left( \frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}} \right)^p \] --- ### Итоговая форма: \[ \boxed{ \left( \frac{p - \frac{1}{q}}{q - \frac{1}{p}} \right)^q \times \left( \frac{p + \frac{1}{q}}{q + \frac{1}{p}} \right)^p } \] **Допустимые значения переменных:** - \( p \) и \( q \) должны быть такие, чтобы были определены деления на ноль, т.е.: \[ q \neq 0,\quad p \neq 0,\quad p q \neq 1 \] --- Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более конкретное объяснение, пишите!