Давайте разберемся с задачей по шагам.
Дано:
- Описанная вокруг прямоугольного треугольника окружность (описанная окружность) с радиусом ( R = 18 ) см.
- Требуется найти длину медианы, проведенной из вершины прямого угла этого треугольника.
Шаг 1. Связь радиуса описанной окружности и сторон треугольника
Для прямоугольного треугольника известно важное свойство:
Радиус описанной окружности ( R ) равен половине гепотенузы ( c ).
Или более формально:
[
R = \frac{c}{2}
]
где ( c ) — гипотенуза.
Следовательно:
[
c = 2R = 2 \times 18 = 36 \text{ см}
]
Шаг 2. Обозначим стороны и запишем известное
Пусть:
- ( a ) и ( b ) — катеты,
- ( c = 36 ) см — гипотенуза.
Поскольку треугольник прямой:
[
a^2 + b^2 = c^2 = 36^2 = 1296
]
Шаг 3. Медиана, проведенная из вершины прямого угла
Медиана, проведенная из вершины прямого угла ( M ), делит гипотенузу пополам. Ее длина находится по формуле:
[
m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
]
Но в случае с медианой, проведенной из прямого угла, есть более простая формула.
Формула для медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]
Но так как ( a^2 + b^2 = c^2 ), это можно упростить.
Также, в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2(a^2 + b^2) - c^2}
]
Подставим ( a^2 + b^2 = c^2 ):
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2c^2 - c^2} = \frac{1}{2} \sqrt{c^2} = \frac{c}{2}
]
Следовательно:
[
m = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}
]
Итог:
Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна 18 см.
Ответ: 18 см
Если нужно, я могу помочь с графиком или более подробными пояснениями!
