Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Дано:
- Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
- Угол ( A ) на 58° больше угла ( B ).
- Угол ( A ) в 4 раза больше угла ( C ).
Требуется найти все углы четырехугольника: ( A ), ( B ), ( C ), ( D ).
Шаг 1: Вспомним свойства вписанного четырехугольника
- Вписанный четырехугольник имеет свойство: сумма противоположных углов равна 180°:
[
A + C = 180^\circ, \quad B + D = 180^\circ.
]
Шаг 2: Запишем условие о соотношениях углов
- ( A = B + 58^\circ ).
- ( A = 4C ).
Из второго уравнения: ( A = 4C ).
Из первого: ( A = B + 58^\circ ), значит:
[
B = A - 58^\circ.
]
Подставим ( A = 4C ):
[
B = 4C - 58^\circ.
]
Шаг 3: Используем сумму углов четырехугольника
Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°:
[
A + B + C + D = 360^\circ.
]
Но также известно, что ( A + C = 180^\circ ) (свойство вписанного четырехугольника), и что:
[
D = 180^\circ - B,
]
так как противоположные углы в вписанном четырехугольнике — дополняют 180°.
Теперь выразим все через ( C ):
- ( A = 4C ),
- ( B = 4C - 58^\circ ),
- ( D = 180^\circ - B = 180^\circ - (4C - 58^\circ) = 180^\circ - 4C + 58^\circ = 238^\circ - 4C ).
Также поскольку ( A + C = 180^\circ ), подставим ( A = 4C ):
[
4C + C = 180^\circ,
]
[
5C = 180^\circ,
]
[
C = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ.
]
Шаг 4: Найдем остальные углы
- ( A = 4C = 4 \times 36^\circ = 144^\circ ),
- ( B = 4C - 58^\circ = 144^\circ - 58^\circ = 86^\circ ),
- ( D = 238^\circ - 4C = 238^\circ - 4 \times 36^\circ = 238^\circ - 144^\circ = 94^\circ ).
Проверим сумму:
[
A + B + C + D = 144^\circ + 86^\circ + 36^\circ + 94^\circ = 360^\circ,
]
что подходит.
Ответ:
[
\boxed{
\begin{aligned}
A &= 144^\circ, \
B &= 86^\circ, \
C &= 36^\circ, \
D &= 94^\circ.
\end{aligned}
}
]
Итог:
- Углы у четырехугольника: 144°, 86°, 36°, 94°.
