В полном графе количество рёбер 45. Сколько в нёс вершин?
Дано:
- Полный граф (Complete Graph), обозначается как \(K_n\), где \(n\) — число вершин.
- Общее количество рёбер в полном графе равно 45.
Нам нужно найти число вершин \(n\).
Шаг 1: Формула количества рёбер в полном графе
Для полного графа с \(n\) вершинами число рёбер вычисляется по формуле:
\[ E = \frac{n(n-1)}{2} \]
где
- \(E\) — количество рёбер,
- \(n\) — число вершин.
Шаг 2: Подставляем значение
Так как \(E = 45\), подставляем:
\[ \frac{n(n-1)}{2} = 45 \]
Умножим обе части уравнения на 2:
\[ n(n-1) = 90 \]
Шаг 3: Решаем квадратичное уравнение
Расписываем:
\[ n^2 - n = 90 \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ n^2 - n - 90 = 0 \]
Это квадратное уравнение.
Шаг 4: Находим дискриминант
Дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-90) = 1 + 360 = 361 \]
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня.
Находим корни по формуле:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем:
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{361}}{2} \]
Поскольку \(\sqrt{361} = 19\):
\[ n = \frac{1 \pm 19}{2} \]
Рассматриваем оба варианта:
- \(\displaystyle n = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
- \(\displaystyle n = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \)
Число вершин не может быть отрицательным, значит:
\[ \boxed{n = 10} \]
Ответ:
В полном графе, у которого количество рёбер равно 45, вершин — 10.
