Дано:
- Полный граф (Complete Graph), обозначается как (K_n), где (n) — число вершин.
- Общее количество рёбер в полном графе равно 45.
Нам нужно найти число вершин (n).
Шаг 1: Формула количества рёбер в полном графе
Для полного графа с (n) вершинами число рёбер вычисляется по формуле:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где
- (E) — количество рёбер,
- (n) — число вершин.
Шаг 2: Подставляем значение
Так как (E = 45), подставляем:
[
\frac{n(n-1)}{2} = 45
]
Умножим обе части уравнения на 2:
[
n(n-1) = 90
]
Шаг 3: Решаем квадратичное уравнение
Расписываем:
[
n^2 - n = 90
]
Переносим всё в одну сторону:
[
n^2 - n - 90 = 0
]
Это квадратное уравнение.
Шаг 4: Находим дискриминант
Дискриминант (D):
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-90) = 1 + 360 = 361
]
Так как (D > 0), уравнение имеет два корня.
Находим корни по формуле:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{361}}{2}
]
Поскольку (\sqrt{361} = 19):
[
n = \frac{1 \pm 19}{2}
]
Рассматриваем оба варианта:
- (\displaystyle n = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10 )
- (\displaystyle n = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9 )
Число вершин не может быть отрицательным, значит:
[
\boxed{n = 10}
]
Ответ:
В полном графе, у которого количество рёбер равно 45, вершин — 10.
