Сделай задания
Конечно! Вот решения всех задач подробно и по шагам:
11. Чтобы войти в подъезд, нужно набрать код — трёхзначное число, состоящее из трёх различных цифр от 0 до 9, которые нужно назвать последовательно. Входной набор цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сколько различных вариантов набора цифр он должен перепробовать, чтобы гарантированно найти нужный?
Решение:
Нам нужно выбрать 3 разные цифры из 10 возможных: это сочетание без повторений.
Количество сочетаний: \( C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120 \).
Каждое сочетание можно упорядочить в 3! = 6 способов (по правилу перестановок).
Таким образом, всего возможных трёхзначных чисел (различных цифр) — \( 120 \times 6 = 720 \).
Ответ: 720 вариантов.
12. а) Укажите, какие из чисел являются иррациональными:
\[ \sqrt{49}; \quad \sqrt{1,96}; \quad \sqrt{18}; \quad -\sqrt{7}; \quad 0,6161...; \quad -2,3(74); \quad (1 + \sqrt{7})(\sqrt{17} - 1); \quad 0,202002220@... \]
Рассмотрим каждое:
- \(\sqrt{49} = 7\) — рациональное, так как корень из целого числа, являющегося полным квадратом.
- \(\sqrt{1,96} = 1,4\) — рациональное (дробь 14/10 или 7/5).
- \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\) — иррациональное, так как \(\sqrt{2}\) иррационально.
- \(-\sqrt{7}\) — иррациональное, так как \(\sqrt{7}\) иррационально.
- \(0,6161...\) — бесконечная не периодическая дробь — иррациональное число.
- \(-2,3(74)\) — периодическая десятичная дробь, значит рациональная.
- \((1 + \sqrt{7})(\sqrt{17} - 1)\): умножение рацио. + иррациональные члены, результат зависит от иррациональных \(\sqrt{7}\) и \(\sqrt{17}\). Но произведение двух иррациональных чисел, не являющихся корнями того же числа, обычно иррационально. Так как внутри — иррациональные, то и результат иррациональный.
- \(0,202002220@... \) — выглядит как бесконечная дробь с периодом, скорее всего, иррациональное, если это бесконечная непериодическая дробь.
Итог: иррациональные числа — \(\sqrt{18}\), \(-\sqrt{7}\), \(0,6161...\), а также вероятно, произведение \((1 + \sqrt{7})(\sqrt{17} - 1)\).
12. б) Упростите выражение:
\[ \sqrt{640} - \sqrt{128} - 3a^2b, \quad \если \; a \geq 0, \; b \geq 0 \]
Решение:
- Выделяем квадратичные корни:
\[ \sqrt{640} = \sqrt{64 \times 10} = 8 \sqrt{10} \] \[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8 \sqrt{2} \]
- Тогда выражение:
\[ 8 \sqrt{10} - 8 \sqrt{2} - 3a^2b \]
- Можно оставить в таком виде, так как выражения под корнями разные.
Ответ:
\[ 8 \sqrt{10} - 8 \sqrt{2} - 3a^2b \]
12. в) Упростите выражение:
\[
14 \sqrt{5} \times 13 \sqrt{6}
\]
Решение:
- Перемножим числовые части:
\[ 14 \times 13 = 182 \]
- Множители под корнями:
\[ \sqrt{5} \times \sqrt{6} = \sqrt{5 \times 6} = \sqrt{30} \]
- Итог:
\[ 182 \sqrt{30} \]
Ответ: \(182 \sqrt{30}\).
13. Найдите раствортность между наибольшим натуральным числом, не превышающим \(\sqrt{69}\), и наименьшим натуральным числом, превышающим \(\sqrt{23}\).
Решение:
- \(\sqrt{69} \approx 8.3066\) — наибольшее натуральное число, не превышающее это значение — 8.
- \(\sqrt{23} \approx 4.7958\) — минимальное натуральное число, превышающее это — 5.
Теперь найти расстояние:
\[ |8 - 5| = 3 \]
Ответ: 3
14. а) Найдите все допустимые значения переменной:
\[ \frac{-2}{(x^2 - 16)} \quad \text{при } x \text{ — любой, кроме ...} \]
Запятая указывает на пропуск: искать, при каких \(x\) выражение неопределено.
Знаменатель:
\[ x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \]
Значит, при \(x = \pm 4\) выражение не определено.
Условие: \(x \neq \pm 4\).
Ответ: все \(x\), кроме \(\pm 4\).
14. б) Упростите выражение:
\[ \frac{(m + n) \times \left( \frac{x^2 + y^2}{m^2 - n^2} \right)}{(m^2 + n^2 - 2mn)} \]
- Первый, в числителе — произведение:
\[ (m + n)\times \frac{x^2 + y^2}{m^2 - n^2} \]
В знаменателе: \(m^2 + n^2 - 2mn = (m - n)^2 \).
Тогда выражение:
\[ \frac{(m + n)(x^2 + y^2)}{(m^2 - n^2)} \times \frac{1}{(m - n)^2} \]
- Но так как \(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\), то:
\[ \frac{(m + n)(x^2 + y^2)}{(m - n)(m + n)} \times \frac{1}{(m - n)^2} \]
- Упрощается:
\[ \frac{x^2 + y^2}{(m - n)} \times \frac{1}{(m - n)^2} = \frac{x^2 + y^2}{(m - n)^3} \]
Ответ:
\[ \frac{x^2 + y^2}{(m - n)^3} \]
15. Даны первые четыре члена последовательности:
\[ \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{9}, \quad \frac{1}{16} \]
(И дальше — задача найти следующий член).
Заметим: denominators — 4, 9, 16, т.е. квадраты 2, 3, 4.
Следующий — квадрат 5: 25.
Тогда следующий член:
\[ \frac{1}{25} \]
Если нужно, я могу помочь в конкретных действиях или более подробно по какому-то примеру!
