4. Сторона ромба равна 130 см, а одна из диагоналей 100 см. Найдите радиус окружности вписанной в ромб.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие. **Дано:** - Длина стороны ромба \( a = 130 \text{ см} \) - Одна из диагоналей \( d_1 = 100 \text{ см} \) Задача: найти радиус вписанной окружности \( r \). --- ### Шаг 1. Определение свойств ромба Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Обозначим: - \( d_1 = 100 \text{ см} \) — одна диагональ - \( d_2 \) — другая диагональ, которую мы должны найти - \( a = 130 \text{ см} \) — сторона ромба ### Шаг 2. Свойства диагоналей ромба Диагонали ромба: - Пересекаются под углом 90° - Делят друг друга пополам Обозначим половины диагоналей: - \( \frac{d_1}{2} = 50 \text{ см} \) - \( \frac{d_2}{2} = m \text{ (половина другой диагонали, которую нужно найти)} \) Рассмотрим один из треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба. Эти треугольники — равнобедренные, и их гипотенуза — сторона ромба \( a \). Через теорему Пифагора для такого треугольника: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + m^2 \] Подставим Known: \[ 130^2 = 50^2 + m^2 \] --- ### Шаг 3. Вычисление \( m \) \[ 130^2 = 16900 \] \[ 50^2 = 2500 \] Следовательно: \[ 16900 = 2500 + m^2 \] \[ m^2 = 16900 - 2500 = 14400 \] \[ m = \sqrt{14400} = 120 \] Посредством этого получаем половину второй диагонали: \[ \frac{d_2}{2} = 120 \implies d_2 = 2 \times 120 = 240 \text{ см} \] --- ### Шаг 4. Площадь ромба Площадь ромба \( S \): \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \] Подставим значения: \[ S = \frac{100 \times 240}{2} = \frac{24000}{2} = 12000 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 5. Вычисление радиуса вписанной окружности Радиус вписанной окружности в произвольную фигуру можно найти, воспользовавшись формулой для ромба, которая связана с площадью \( S \), периметром \( P \) и радиусом вписанной окружности \( r \): \[ r = \frac{S}{p} \] где \( p \) — перииметр, то есть сумма всех сторон: \[ p = 4a = 4 \times 130 = 520 \text{ см} \] Подставляем: \[ r = \frac{12000}{520} \approx 23.08 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** Радиус вписанной окружности ромба равен примерно **23,1 см**. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение какого-то шага, я с радостью помогу!