4. Сторона ромба равна 130 см, а одна из диагоналей 100 см. Найдите радиус окружности вписанной в ромб.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Дано:
- Длина стороны ромба \( a = 130 \text{ см} \)
- Одна из диагоналей \( d_1 = 100 \text{ см} \)
Задача: найти радиус вписанной окружности \( r \).
Шаг 1. Определение свойств ромба
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Обозначим:
- \( d_1 = 100 \text{ см} \) — одна диагональ
- \( d_2 \) — другая диагональ, которую мы должны найти
- \( a = 130 \text{ см} \) — сторона ромба
Шаг 2. Свойства диагоналей ромба
Диагонали ромба:
- Пересекаются под углом 90°
- Делят друг друга пополам
Обозначим половины диагоналей:
- \( \frac{d_1}{2} = 50 \text{ см} \)
- \( \frac{d_2}{2} = m \text{ (половина другой диагонали, которую нужно найти)} \)
Рассмотрим один из треугольников, образованных половинами диагоналей и стороной ромба. Эти треугольники — равнобедренные, и их гипотенуза — сторона ромба \( a \).
Через теорему Пифагора для такого треугольника:
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + m^2 \]
Подставим Known:
\[ 130^2 = 50^2 + m^2 \]
Шаг 3. Вычисление \( m \)
\[ 130^2 = 16900 \] \[ 50^2 = 2500 \]
Следовательно:
\[ 16900 = 2500 + m^2 \] \[ m^2 = 16900 - 2500 = 14400 \]
\[ m = \sqrt{14400} = 120 \]
Посредством этого получаем половину второй диагонали:
\[ \frac{d_2}{2} = 120 \implies d_2 = 2 \times 120 = 240 \text{ см} \]
Шаг 4. Площадь ромба
Площадь ромба \( S \):
\[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]
Подставим значения:
\[ S = \frac{100 \times 240}{2} = \frac{24000}{2} = 12000 \text{ см}^2 \]
Шаг 5. Вычисление радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в произвольную фигуру можно найти, воспользовавшись формулой для ромба, которая связана с площадью \( S \), периметром \( P \) и радиусом вписанной окружности \( r \):
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( p \) — перииметр, то есть сумма всех сторон:
\[ p = 4a = 4 \times 130 = 520 \text{ см} \]
Подставляем:
\[ r = \frac{12000}{520} \approx 23.08 \text{ см} \]
Ответ:
Радиус вписанной окружности ромба равен примерно 23,1 см.
Если есть дополнительные вопросы или нужно разъяснение какого-то шага, я с радостью помогу!
