Давайте упростим данную дробь:
[
\frac{20^n}{2^{2n-2} \cdot 5^{n-2}}
]
Шаг 1: Разложим знаменатель по простым множителям:
- (2^{2n-2}) — уже в виде степени двойки.
- (5^{n-2}) — в виде степени пятёрки.
Обратим внимание, что числитель — (20^n), а (20 = 2^2 \cdot 5).
Шаг 2: Запишем числитель через простые множители:
[
20^n = (2^2 \cdot 5)^n = 2^{2n} \cdot 5^n
]
Шаг 3: Теперь запишем всю дробь:
[
\frac{2^{2n} \cdot 5^n}{2^{2n-2} \cdot 5^{n-2}}
]
Шаг 4: Разделим показатели степеней, воспользовавшись правилом:
[
\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}
]
Итак, получим:
[
2^{2n - (2n-2)} \cdot 5^{n - (n-2)} = 2^{2n - 2n + 2} \cdot 5^{n - n + 2}
]
Что равно:
[
2^{2} \cdot 5^{2}
]
Шаг 5: Итоговая упрощенная дробь:
[
2^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100
]
Ответ:
[
\boxed{100}
]
Дробь при упрощении всегда дает число 100.
