Рассмотрим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Площадь параллелограмма ( ABCD ) равна ( 115 ).
- Точка ( E ) — середина стороны ( CD ).
Нам нужно найти площадь треугольника ( ADE ).
Шаг 1: Вводим систему координат
Для удобства, выберем систему координат так, чтобы:
- ( A ) был в начале (0, 0).
- ( B ) — на оси ( x ).
- ( D ) — на оси ( y ).
Обозначим:
- ( A = (0, 0) ),
- ( B = (b, 0) ),
- ( D = (0, d) ),
- Тогда ( C = B + D = (b, d) ).
Параллелограмм:
- ( ABCD ) со вершинами: ( A=(0,0) ), ( B=(b,0) ), ( D=(0,d) ), ( C=(b,d) ).
Шаг 2: Находим площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма:
[
S = |AB| \times |AD| = b \times d.
]
По условию, ( S = 115 ), следовательно:
[
b \times d = 115.
]
Шаг 3: Находим координаты точки ( E )
Точка ( E ) — середина ( CD ):
[
C = (b, d),
]
[
D = (0, d),
]
поэтому:
[
E = \left( \frac{b+0}{2}, \frac{d+d}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, d \right).
]
Шаг 4: Вычисляем площадь треугольника ( ADE )
Треугольник ( A, D, E ):
- ( A = (0, 0) ),
- ( D = (0, d) ),
- ( E = \left( \frac{b}{2}, d \right) ).
Формула площади по координатам треугольника:
[
S_{ADE} = \frac{1}{2} | x_A(y_D - y_E) + x_D(y_E - y_A) + x_E(y_A - y_D) |.
]
Подставляем значения:
[
S_{ADE} = \frac{1}{2} | 0 \times (d - d) + 0 \times (d - 0) + \frac{b}{2} \times (0 - d) |.
]
Упростим:
[
S_{ADE} = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + \frac{b}{2} \times (-d) \right| = \frac{1}{2} \times \left| - \frac{b d}{2} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{b d}{2} = \frac{b d}{4}.
]
Помним, что ( b d = 115 ), тогда:
[
S_{ADE} = \frac{115}{4} = 28.75.
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{115}{4} = 28.75.
}
]
Площадь треугольника ( ADE ) равна 28,75.
