Площадь параллелограмма ABCD равна 115. Точка Е — середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.

Рассмотрим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна \( 115 \).
• Точка \( E \) — середина стороны \( CD \).

Нам нужно найти площадь треугольника \( ADE \).

Шаг 1: Вводим систему координат

Для удобства, выберем систему координат так, чтобы:

• \( A \) был в начале (0, 0).
• \( B \) — на оси \( x \).
• \( D \) — на оси \( y \).

Обозначим:

• \( A = (0, 0) \),
• \( B = (b, 0) \),
• \( D = (0, d) \),
• Тогда \( C = B + D = (b, d) \).

Параллелограмм:

• \( ABCD \) со вершинами: \( A=(0,0) \), \( B=(b,0) \), \( D=(0,d) \), \( C=(b,d) \).

Шаг 2: Находим площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма: \[ S = |AB| \times |AD| = b \times d. \]

По условию, \( S = 115 \), следовательно: \[ b \times d = 115. \]

Шаг 3: Находим координаты точки \( E \)

Точка \( E \) — середина \( CD \): \[ C = (b, d), \] \[ D = (0, d), \] поэтому: \[ E = \left( \frac{b+0}{2}, \frac{d+d}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, d \right). \]

Шаг 4: Вычисляем площадь треугольника \( ADE \)

Треугольник \( A, D, E \):

• \( A = (0, 0) \),
• \( D = (0, d) \),
• \( E = \left( \frac{b}{2}, d \right) \).

Формула площади по координатам треугольника: \[ S_{ADE} = \frac{1}{2} | x_A(y_D - y_E) + x_D(y_E - y_A) + x_E(y_A - y_D) |. \]

Подставляем значения: \[ S_{ADE} = \frac{1}{2} | 0 \times (d - d) + 0 \times (d - 0) + \frac{b}{2} \times (0 - d) |. \]

Упростим: \[ S_{ADE} = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + \frac{b}{2} \times (-d) \right| = \frac{1}{2} \times \left| - \frac{b d}{2} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{b d}{2} = \frac{b d}{4}. \]

Помним, что \( b d = 115 \), тогда: \[ S_{ADE} = \frac{115}{4} = 28.75. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{115}{4} = 28.75. } \]

Площадь треугольника \( ADE \) равна 28,75.