Дано:
- Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй. Обозначим:
- скорость первого рабочего: ( x ) деталей в час
- скорость второго рабочего: ( y ) деталей в час
Тогда по условию:
[ x = y + 6 ]
- Первый рабочий выполняет заказ из 140 деталей за ( T_1 ) часов.
- Второй рабочий выполняет тот же заказ за ( T_2 ) часов.
- Первый рабочий работает на 3 часа быстрее, то есть:
[ T_1 = T_2 - 3 ]
Также, поскольку задание выполнено обоими работниками, для каждого из них:
[ \text{Общее количество деталей} = \text{скорость} \times \text{время} ]
Что дает:
[ x \times T_1 = 140 ]
[ y \times T_2 = 140 ]
Из этих уравнений выразим времена:
[ T_1 = \frac{140}{x} ]
[ T_2 = \frac{140}{y} ]
Условие, что первый рабочий работает на 3 часа меньше:
[ T_1 = T_2 - 3 ]
Подставим выражения:
[ \frac{140}{x} = \frac{140}{y} - 3 ]
Теперь осталось выразить ( y ) через ( x ):
[ y = x - 6 ]
Подставим в полученное уравнение:
[ \frac{140}{x} = \frac{140}{x - 6} - 3 ]
Решим это уравнение:
[
\frac{140}{x} + 3 = \frac{140}{x - 6}
]
Приведем к общему виду:
[
\frac{140}{x} + 3 = \frac{140}{x - 6}
]
Упростим левую часть, приведя к общему знаменателю ( x ):
[
\frac{140 + 3x}{x} = \frac{140}{x - 6}
]
Теперь перепишем уравнение:
[
\frac{140 + 3x}{x} = \frac{140}{x - 6}
]
Перемножим крест-накрест:
[
(140 + 3x)(x - 6) = 140x
]
Раскроем скобки:
[
(140 \times x) - 140 \times 6 + 3x \times x - 3x \times 6 = 140x
]
Посчитаем:
[
140x - 840 + 3x^2 - 18x = 140x
]
Перенесем все в одну сторону:
[
140x - 840 + 3x^2 - 18x - 140x = 0
]
Сократим и упростим:
[
(140x - 140x) - 18x + 3x^2 - 840 = 0
]
[
-18x + 3x^2 - 840 = 0
]
Поделим всё на 3:
[
-6x + x^2 - 280 = 0
]
Запишем как квадратичное уравнение:
[
x^2 - 6x - 280 = 0
]
Решим его с помощью дискриминанта:
[
D = (-6)^2 - 4 \times 1 \times (-280) = 36 + 1120 = 1156
]
Найдем корни:
[
x = \frac{6 \pm \sqrt{1156}}{2}
]
Так как (\sqrt{1156} = 34), то:
[
x = \frac{6 \pm 34}{2}
]
Рассмотрим оба варианта:
- (\displaystyle x = \frac{6 + 34}{2} = \frac{40}{2} = 20)
- (\displaystyle x = \frac{6 - 34}{2} = \frac{-28}{2} = -14)
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:
[ x = 20 ]
Ответ:
Первый рабочий за час делает 20 деталей.
