Реши задачу на фото
Давайте решим данное уравнение по шагам.
Задача: \[ \sqrt{x} = -\sqrt{9 - x} + 3 \]
Шаг 1: Анализируем уравнение
- Левая часть: \(\sqrt{x}\) — корень из \(x\). Он неотрицателен для \(x \geq 0\).
- Правая часть: \(-\sqrt{9 - x} + 3\). Так как \(\sqrt{9 - x} \geq 0\), то \(-\sqrt{9 - x}\) — неотрицательное число с отрицательным знаком. Значит, правая часть всегда не больше 3.
Чтобы уравнение имело решение, левая часть должна быть равна правой. Обозначим:
\[ \sqrt{x} = y \]
тогда,
\[ y = -\sqrt{9 - x} + 3 \]
или,
\[ y = 3 - \sqrt{9 - x} \]
Так как \(y = \sqrt{x} \geq 0\), то \(0 \leq y \leq 3\).
Шаг 2: Перепишем уравнение
Подставим \(x = y^2\):
\[ y = 3 - \sqrt{9 - y^2} \]
Перенесем \(\sqrt{9 - y^2}\) в левую сторону:
\[ \sqrt{9 - y^2} = 3 - y \]
Обеспечим условие на правую часть. Поскольку \(\sqrt{9 - y^2} \geq 0\), то:
\[ 3 - y \geq 0 \Rightarrow y \leq 3 \]
И вот теперь решим:
\[ \sqrt{9 - y^2} = 3 - y \]
Шаг 3: Возводим обе части в квадрат
\[ 9 - y^2 = (3 - y)^2 \]
Раскроем правую часть:
\[ 9 - y^2 = 9 - 6y + y^2 \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 9 - y^2 - 9 + 6y - y^2 = 0 \]
Объединяем подобные:
\[ -2y^2 + 6y = 0 \]
или,
\[ 2y^2 - 6y = 0 \]
Выносим \(2y\):
\[ 2y(y - 3) = 0 \]
Значит, решения:
\[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = 3 \]
Шаг 4: Возвращаемся к \(x\)
Recall, \(x = y^2\), so:
- при \(y=0\), \(x=0^2=0\);
- при \(y=3\), \(x=3^2=9\).
Шаг 5: Проверка решений в исходном уравнении
- Для \(x=0\):
\[ \sqrt{0} = -\sqrt{9 - 0} + 3 \] \[ 0 = -\sqrt{9} + 3 \] \[ 0 = -3 + 3 \] \[ 0=0 \quad \text{верно} \]
- Для \(x=9\):
\[ \sqrt{9} = -\sqrt{9 - 9} + 3 \] \[ 3 = -\sqrt{0} + 3 \] \[ 3= -0 + 3 \] \[ 3=3 \quad \text{верно} \]
Ответ:
Корни уравнения: \(x=0\) и \(x=9\).
Наиболее большой из них: \(\boxed{9}\).
