постройте график функции Y=-x²-4x+5. решить через дискриминант.
Давайте подробно разберем задачу: построить график функции \(Y = -x^2 - 4x + 5\), а также решить её через дискриминант.
Шаг 1. Анализ функции
Это квадратичная функция вида \(Y = ax^2 + bx + c\), где:
- \(a = -1\),
- \(b = -4\),
- \(c = 5\).
Поскольку \(a<0\), график — это «парабола», открывающаяся вниз.
Шаг 2. Построение графика
- Находим вершину параболы — точку минимума (или максимум для данной функции).
Для этого используем формулу для \(x\) вершины: \[ x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения: \[ x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2 \]
Теперь найдём значение \(Y\) в вершине, подставив \(x = -2\): \[ Y(-2) = -(-2)^2 -4 \cdot (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \]
Вершина графика: \((-2, 9)\).
- Находим дискриминант для определения корней (об этом чуть ниже).
Шаг 3. Решение уравнения через дискриминант
Исходное уравнение: \(Y=0\):
\[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \]
или в стандартном виде:
\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]
(умножили обе части на \(-1\), чтобы было удобнее).
Дискриминант \(D\) рассчитывается как: \[ D = b^2 - 4ac \]
где:
- \(a=1\),
- \(b=4\),
- \(c=-5\).
Подставляем: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два корня.
Решения через формулу: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]
Получаем два корня:
- \(x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\),
- \(x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).
Итог:
- График — парабола с вершиной в точке \((-2, 9)\).
- Корни — \(x = 1\) и \(x = -5\).
Построение графика:
- Начертите ось \(X\) и \(Y\).
- Отметьте вершину \((-2, 9)\).
- Отметьте корни \(-5\) и \(1\) по оси \(X\), где функция обращается в ноль.
- Проведите параболу, проходящую через эти точки, с учетом, что она «открывается вниз» (так как коэффициент при \(x^2\) отрицателен).
Если нужно, я могу помочь с более точными чертежами или объяснить дополнительные моменты!
