ная работа по геометрии 7 класс Вариант 1 Работа состоит из двух частей, включающих в себя 5 заданий. Часть I состоит из 2 заданий с кратким ответом за каждое по 1 баллу, который…

Конечно, давайте подробно разберем каждое задание из вашей контрольной по геометрии для 7 класса. Я буду объяснять шаг за шагом, чтобы было понятно, как находить решения.

---

Задача 1

На рисунке изображен треугольник АВС, в котором:

• \( АС = 54 \)
• Медиана \( ВМ = 43 \)
• Нужно найти \( АМ \)

Что такое медиана? — Это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной ему стороны.

Обозначения:

• Медиана \( ВМ \) делит сторону \( АС \) пополам, то есть: \[ M \text{ — середина } АС \] Тогда: \[ AM = MC \]

Рассмотрим треугольник:

• \( A, B, C \), и в нем есть медиана \( BM \), она делит сторону \( AC \).

Теперь применим теорему Apollonius, которая утверждает:
В треугольнике медиана деляет стороны следующим образом:

\[ AB^2 + AC^2 = 2(BM^2 + AM \cdot MC) \]

Но у нас осталось немного информации, чтобы точно использовать эту теорему, и она подойдет, если мы будем считать:

• \( M \) — середина \( AC \),
• \( AM = MC \),
• \( AC = 54 \),
• \( AM = MC = \frac{AC}{2} = 27 \).

Теперь, чтобы найти \( AМ \), используем теорему о медиане:

\[ BM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4} \]

Для простоты, так как \( AB, BC \) не заданы, тогда предположим, что в задаче есть дополнительная информация (например, что \( AB \) и \( BC \) не указаны, поэтому, скорее всего, нам необходимо применить свойства медианы).

Однако из вариантов ответа видно, что ответ — 27, потому что это половина стороны \( AC \).

Ответ: \(\boxed{27}\)

---

Задача 2

На рисунке (слева) \( алв \), \( c \) — секущая, угол \(\angle 3 = 125^\circ\). Нужно найти угол \(\angle 1\):

• Варианты:
  a) 125°, б) 180°, в) 30°, г) 55°.

Объяснение:
Если \( c \) — секущая и она пересекает две касательные, то угол \( \angle 3 = 125^\circ \) — это внешний угол, связанный с углами, образованными секущей и касательными.

Обычно, при таких задачах, если секущая пересекает две касательные, то угол \( \angle 1 \) связан с \( \angle 3 \) через свойства внешних и внутренних углов.

• Когда секущая пересекает касательные, то внутренние и внешние углы связаны через теорему о внешних уголках.

Но более конкретно, если известен угол \( \angle 3 = 125^\circ \), то угол напротив него (на другой стороне секущей) будет равен \( 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \).

Ответ: г) 55°

---

Задача 3

В треугольнике \( РАС \) проведена биссектриса \( РЕ \).

Дано:

• \( \angle Z_{PAC} = 48^\circ \),
• \( \angle Z_{PCA} = 56^\circ \).

Нужно найти \( \angle APE \).

Объяснение:

• В треугольнике \( PAC \):

  Сумма углов равна 180°:

  \[ \angle PAC + \angle PCA + \angle A = 180^\circ \]

  подставим:

  \[ 48^\circ + 56^\circ + \angle P = 180^\circ \]

  \[ \angle P = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ \]

• Биссектриса \( PE \) делит угол \( \angle P \) на два равных угла:

  \[ \angle PE = \frac{\angle P}{2} = \frac{76^\circ}{2} = 38^\circ \]

• Угол \( \angle APE \) внутри треугольника \( PАE \) — это половина угла \( P \), то есть:

  \[ \boxed{38^\circ} \]

Ответ: 38°, так как это наиболее подходящий вариант по логике.

---

Задача 4

Отрезки \( ХУ \) и \( CD \) — диаметры окружности с центром \( O \).

Дано:

• \( CX = 11 \, \text{см} \),
• \( ХУ = 18 \, \text{см} \).

Нужно найти периметр треугольника \( UOD \).

Объяснение:

• Поскольку \( ХУ \) и \( CD \) — диаметры окружности, то радиус равен половине диаметра:

\[ R_{ху} = \frac{18}{2} = 9\, \text{см} \] \[ R_{с} = \frac{11}{2} = 5.5\, \text{см} \]

• Точки \( U, D \) — на окружности, а \( O \) — центр окружности.

• Расстояние \( OD \) — это радиус: \( R = 9 \) см.

• Аналогично для \( U \), оно равно радиусу, то есть 9 см.

• Для поиска других сторон можно использовать теорему Пифагора, например, если \( U \) и \( D \) — точки на окружности, то \( OU = OD = R \).

• Тогда сторона \( U D \) — секущая, соединяющая точки на окружности.

Если \( C X = 11 \) — это отрезок, соединяющий \( C \) и \( X \).

Насколько я понимаю, в задаче нужно найти \( \mathrm{\textbf{периметр}} \triangle U O D \).

• \( O \) — центр, \( U \) и \( D \) — точки на окружности.

• Тогда \( U O = D O = R = 9 \) см.

• Расстояние \( U D \) — это chord (дуга), ее длина:

\[ U D = 2 R \sin \left( \frac{\angle U O D}{2} \right) \]

Без дополнительной информации о расположении точек, предполагается, что это равнобедренный треугольник с двумя радиусами и стороной \( U D \).

Наиболее вероятный ответ:
Периметр:

\[ P = U O + O D + U D \]

Общая идея — если \( U D \) не задан, то, возможно, предполагается, что это соединение на окружности, и мы можем использовать радиус.

Ответ:
Если данные позволяют считать, что \( U D \) — диаметр (относительно углов, 90°), то:

\[ U D = 2 \times R = 18\, \text{см} \]

Периметр:

\[ P = 9 + 9 + 18 = 36\, \text{см} \]

Ответ: 36 см.

---

Задача 5

В прямоугольном треугольнике \( ХУМ \) с прямым углом \( У \) проведена высота \( УК \).

Дано:

• \( К М=8 \),
• \( У М=16 \).

Нужно найти угол \( Х \).

Объяснение:

• Пусть \( \angle У \) — прямой, \( У M \) — гипотенуза или высота?

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на два отрезка.

• Если \( У M = 16 \), то это гипотенуза.

• \( К М = 8 \) — один из отрезков гипотенузы.

• В прямоугольном треугольнике для угла \( Х \):

\[ \sin Х = \frac{противоположная сторона}{гипотенуза} \]

• Рассмотрим, что \( К \) — это вершина, угол \( Х \), тогда:

\[ \sin Х = \frac{К М}{У М} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \]

Отсюда:

\[ \angle Х = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = 30^\circ \]

Ответ: 30°

---

Если нужно, я могу дополнительно помочь с иллюстрациями или пояснениями. Надеюсь, это поможет лучше понять решения!