(x²-49) ²+(x²+4x-21) ²=0

Давайте разберём задачу: \((x^2 - 49)^2 + (x^2 + 4x - 21)^2 = 0\).

Цель — понять решение.

Шаг 1. Анализ уравнения

Обратим внимание: сумма двух квадратов равна нулю: \[ (a)^2 + (b)^2 = 0 \] где \(a = x^2 - 49\), а \(b = x^2 + 4x - 21\).

Поскольку квадраты неотрицательны (\(\geq 0\)), то их сумма равна нулю только в случае, если оба квадрата равны нулю: \[ a=0 \quad \text{и} \quad b=0 \]

Шаг 2. Решение системы уравнений

Получим систему: \[ \begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ x^2 + 4x - 21 = 0 \end{cases} \]

Решим каждое уравнение отдельно.

Шаг 3. Решение первого уравнения

\[ x^2 - 49 = 0 \] \[ x^2 = 49 \] \[ x = \pm 7 \]

Итак, из первого уравнения \(x = 7\) или \(x = -7\).

Шаг 4. Решение второго уравнения

\[ x^2 + 4x - 21 = 0 \]

Используем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \times 1 \times (-21) = 16 + 84 = 100 \]

Корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2} \]

Получаем два корня: \[ x = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Шаг 5. Общие решения

Рассмотрим, какие значения \(x\) подходят одновременно для обеих уравнений:

• Первое уравнение даёт \(x = 7\) или \(x = -7\).
• Второе уравнение даёт \(x = 3\) или \(x = -7\).

Итог:

Общее решение — это все \(x\), которые удовлетворяют обеим условиям одновременно.

Это: \[ x = -7 \] Так как только это число встречается в обеих множествах решений.

Ответ:

\[ \boxed{ x = -7 } \]

Если нужно, я могу дополнительно показать проверку каждого решения подставляя \(x = -7\) и другим потенциальным значением в исходное уравнение.