Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- Площадь прямоугольного треугольника ( S = 18\sqrt{3} )
- Один из острых углов равен ( 60^\circ )
Требуется найти длину катета, прилежащего к этому углу.
Шаг 1: Обозначения
Обозначим:
- Катеты: ( a ) и ( b )
- Гипотенуза: ( c )
Пусть угол при вершине, с которой прилежит катет ( a ), равен ( 60^\circ ).
Шаг 2: Связь между катетами и гипотенузой
Поскольку треугольник прямоугольный:
[
S = \frac{1}{2} a b
]
Значит:
[
a b = 2S = 2 \times 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3}
]
Шаг 3: Связь между уголами и сторонами
Если один из острых углов равен ( 60^\circ ), то:
- Катет, прилежащий к этому углу, по определению, связан с гипотенузой через косинус:
[
a = c \cos 60^\circ
]
- Катет, противолежащий этому углу, равен:
[
b = c \sin 60^\circ
]
В числах:
[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Обозначим гипотенузу как ( c ).
Шаг 4: Выражение катетов через гипотенузу
По формуле:
[
a = c \times \frac{1}{2}
]
[
b = c \times \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Подставим в известное уравнение для площади:
[
a b = 36\sqrt{3}
]
Подставляя выражения:
[
\left( \frac{c}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3} c}{2} \right) = 36\sqrt{3}
]
Это упростится до:
[
\frac{c \times \sqrt{3} c}{4} = 36\sqrt{3}
]
или
[
\frac{\sqrt{3} c^2}{4} = 36 \sqrt{3}
]
Шаг 5: Решим уравнение относительно ( c )
Упростим обе части уравнения:
[
\frac{\sqrt{3} c^2}{4} = 36 \sqrt{3}
]
Упростим левую часть, разделив обе части на ( \sqrt{3} ):
[
\frac{c^2}{4} = 36
]
следовательно,
[
c^2 = 36 \times 4 = 144
]
[
c = \sqrt{144} = 12
]
Шаг 6: Найти искомый катет
Катет, прилежащий к углу ( 60^\circ ), это ( a = c \times \frac{1}{2} ):
[
a = 12 \times \frac{1}{2} = 6
]
Ответ:
Длина катета, прилежащего к острым углом ( 60^\circ ), равна 6.
