Площадь прямоугольного треугольника 18√3 один из острых углов равен 60 найдите длину катета прилежащего к этому углу
Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- Площадь прямоугольного треугольника \( S = 18\sqrt{3} \)
- Один из острых углов равен \( 60^\circ \)
Требуется найти длину катета, прилежащего к этому углу.
Шаг 1: Обозначения
Обозначим:
- Катеты: \( a \) и \( b \)
- Гипотенуза: \( c \)
Пусть угол при вершине, с которой прилежит катет \( a \), равен \( 60^\circ \).
Шаг 2: Связь между катетами и гипотенузой
Поскольку треугольник прямоугольный:
\[ S = \frac{1}{2} a b \]
Значит:
\[ a b = 2S = 2 \times 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \]
Шаг 3: Связь между уголами и сторонами
Если один из острых углов равен \( 60^\circ \), то:
- Катет, прилежащий к этому углу, по определению, связан с гипотенузой через косинус:
\[ a = c \cos 60^\circ \]
- Катет, противолежащий этому углу, равен:
\[ b = c \sin 60^\circ \]
В числах:
\[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Обозначим гипотенузу как \( c \).
Шаг 4: Выражение катетов через гипотенузу
По формуле:
\[ a = c \times \frac{1}{2} \]
\[ b = c \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Подставим в известное уравнение для площади:
\[ a b = 36\sqrt{3} \]
Подставляя выражения:
\[ \left( \frac{c}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3} c}{2} \right) = 36\sqrt{3} \]
Это упростится до:
\[ \frac{c \times \sqrt{3} c}{4} = 36\sqrt{3} \]
или
\[ \frac{\sqrt{3} c^2}{4} = 36 \sqrt{3} \]
Шаг 5: Решим уравнение относительно \( c \)
Упростим обе части уравнения:
\[ \frac{\sqrt{3} c^2}{4} = 36 \sqrt{3} \]
Упростим левую часть, разделив обе части на \( \sqrt{3} \):
\[ \frac{c^2}{4} = 36 \]
следовательно,
\[ c^2 = 36 \times 4 = 144 \]
\[ c = \sqrt{144} = 12 \]
Шаг 6: Найти искомый катет
Катет, прилежащий к углу \( 60^\circ \), это \( a = c \times \frac{1}{2} \):
\[ a = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \]
Ответ:
Длина катета, прилежащего к острым углом \( 60^\circ \), равна 6.
