Задача. Тело массой 3 т совершает гармонические колебания так, что координата тела изменяется с течением времени по закону х = x(t)=1,2cos(6пt+п/6) Определите амплитуду, круговую частоту, частоту, период колебаний, а также фазу, скорость, ускорение, кинетическую энергию и силу, действующую на тело, в момент времени 0,3 t.

Давайте разберем задачу по шагам, подробно объясняя каждое понятие и вычисление. Дано: - Масса тела \( m = 3\, \text{т} = 3000\, \text{кг} \) - Закон колебаний: \( x(t) = 1{,}2 \cos(6 \pi t + \pi/6) \) --- ### 1. Амплитуда (A) Амплитуда — это максимальное отклонение тела от равновесия. В формуле: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \] поэтому: \[ A = 1,2\, \text{м} \] --- ### 2. Круговая частота (\(\omega\)) Это коэффициент при \( t \) внутри функции косинуса: \[ \omega = 6 \pi\, \text{рад/с} \] --- ### 3. Частота (\(f\)) Реальная частота связана с круговой частотой: \[ f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{6 \pi}{2 \pi} = 3\, \text{Гц} \] --- ### 4. Период колебаний (\(T\)) Период — это обратная величина частоты: \[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\, \text{с} \] --- ### 5. Фаза (\(\phi\)) Вначале уже есть: \[ \phi = \frac{\pi}{6} \] --- ### 6. Координата тела в момент \( t = 0{,}3\, \text{с} \) Подставляем \( t = 0{,}3 \): \[ x(0,3) = 1{,}2 \cos(6 \pi \times 0{,}3 + \pi/6) \] Вычисляем аргумент: \[ 6 \pi \times 0{,}3 = 1{,}8 \pi \] Сумма: \[ \theta = 1{,}8 \pi + \frac{\pi}{6} = \left(1{,}8 + \frac{1}{6}\right) \pi \] Приведем к общему знаменателю 6: \[ 1{,}8 = \frac{9}{5} = \frac{54}{30}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{5}{30} \pi \] или лучше прямо так: \[ 1.8 \pi = \frac{9}{5} \pi \] Общий аргумент: \[ \theta = \frac{9}{5} \pi + \frac{1}{6} \pi \] Общий знаменатель — 30: \[ \theta = \left(\frac{54}{30} + \frac{5}{30}\right) \pi = \frac{59}{30} \pi \] Теперь вычислим: \[ x(0,3) = 1,2 \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) \] Заметим, что \( \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) \) — это кусок более сложный, но воспользуемся свойствами косинуса: \[ \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) = \cos \left( 2 \pi + \frac{59}{30}\pi - 2\pi \right) \] Поскольку \( \cos (\theta + 2\pi) = \cos \theta \), то: \[ \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) = \cos \left( \left( \frac{59}{30} - 2 \right) \pi \right) \] Выясним: \[ 2 = \frac{60}{30} \] Тогда: \[ \frac{59}{30} - 2 = \frac{59}{30} - \frac{60}{30} = - \frac{1}{30} \] Итак, \[ x(0,3) = 1,2 \cos \left( -\frac{1}{30} \pi \right ) = 1,2 \cos \left( \frac{\pi}{30} \right) \] Обозначим: \(\cos \left( \frac{\pi}{30} \right)\) — приближенно: \[ \cos \left( \frac{\pi}{30} \right) \approx \cos(6^\circ) \approx 0,9945 \] Тогда: \[ x(0,3) \approx 1,2 \times 0,9945 \approx 1,193\, \text{м} \] --- ### 7. Скорость (\(v(t)\)) Общая формула скорости при гармоническом движении: \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \] Подставляем \( t = 0,3 \, \text{с}\): \[ v(0,3) = -1,2 \times 6 \pi \times \sin \left( \frac{59}{30}\pi \right) \] Обратим внимание, что: \[ \sin \left( \frac{59}{30}\pi \right ) = \sin \left( \left( 2\pi - \frac{1}{30}\pi \right) \right) = - \sin \left( \frac{\pi}{30} \right) \approx -0,1045 \] или проще: \[ \sin \left( \frac{59}{30}\pi \right) = \sin \left( - \frac{\pi}{30} \right) \approx -0,1045 \] Следовательно: \[ v(0,3) \approx -1,2 \times 6 \pi \times (-0,1045) \approx 1,2 \times 6 \pi \times 0,1045 \] Вычисляем: \[ 6 \pi \approx 18,85 \] Тогда: \[ v(0,3) \approx 1,2 \times 18,85 \times 0,1045 \approx 1,2 \times 1,97 \approx 2,36\, \text{м/с} \] --- ### 8. Ускорение (\(a(t)\)) Формула ускорения: \[ a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) \] Подставляем: \[ a(0,3) = -1,2 \times (6 \pi)^2 \times \cos \left( \frac{59}{30}\pi \right) \] \(\cos \left( \frac{59}{30}\pi \right) \approx 0,9945\) Вычисляем \( (6 \pi)^2 = (18,85)^2 \approx 355\): \[ a(0,3) \approx -1,2 \times 355 \times 0,9945 \approx -1,2 \times 354 \approx -425\, \text{м/с}^2 \] Знак «минус» говорит о направлении, противоположном отклонению. --- ### 9. Кинетическая энергия (\(E_k\)) Кинетическая энергия определяется как: \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \] Подставляем: \[ E_k \approx \frac{1}{2} \times 3000 \times (2,36)^2 \] Вычисляем: \[ (2,36)^2 \approx 5,57 \] Поэтому: \[ E_k \approx 1500 \times 5,57 \approx 8355\, \text{Дж} \] --- ### 10. Сила (\(F\)), действующая на тело Сила равна: \[ F = m a \] Подставляем: \[ F \approx 3000 \times (-425) \approx -1\,275\,000\, \text{Н} \] Знак «минус» говорит о том, что сила направлена противоположно движению (восходящая). --- ## Итоги: | Параметр | Значение | | --- | --- | | Амплитуда \(A\) | 1,2 м | | Круговая частота \(\omega\) | \(6 \pi \approx 18,85\) рад/с | | Частота \(f\) | 3 Гц | | Период \(T\) | около 0,333 с | | Фаза \(\phi\) | \(\pi/6\) | | Координата \(x(0,3)\) | примерно 1,193 м | | Скорость \(v(0,3)\) | около 2,36 м/с | | Ускорение \(a(0,3)\) | примерно -425 м/с² | | Кинетическая энергия \(E_k\) | около 8355 Дж | | Сила \(F\) | около -1,28 МН Если есть еще вопросы — обращайтесь!