Задача. Тело массой 3 т совершает гармонические колебания так, что координата тела изменяется с течением времени по закону х = x(t)=1,2cos(6пt+п/6) Определите амплитуду, круговую…

Давайте разберем задачу по шагам, подробно объясняя каждое понятие и вычисление.

Дано:

• Масса тела \( m = 3\, \text{т} = 3000\, \text{кг} \)
• Закон колебаний: \( x(t) = 1{,}2 \cos(6 \pi t + \pi/6) \)

---

1. Амплитуда (A)

Амплитуда — это максимальное отклонение тела от равновесия. В формуле:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]

поэтому:

\[ A = 1,2\, \text{м} \]

---

2. Круговая частота (\(\omega\))

Это коэффициент при \( t \) внутри функции косинуса:

\[ \omega = 6 \pi\, \text{рад/с} \]

---

3. Частота (\(f\))

Реальная частота связана с круговой частотой:

\[ f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{6 \pi}{2 \pi} = 3\, \text{Гц} \]

---

4. Период колебаний (\(T\))

Период — это обратная величина частоты:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\, \text{с} \]

---

5. Фаза (\(\phi\))

Вначале уже есть:

\[ \phi = \frac{\pi}{6} \]

---

6. Координата тела в момент \( t = 0{,}3\, \text{с} \)

Подставляем \( t = 0{,}3 \):

\[ x(0,3) = 1{,}2 \cos(6 \pi \times 0{,}3 + \pi/6) \]

Вычисляем аргумент:

\[ 6 \pi \times 0{,}3 = 1{,}8 \pi \]

Сумма:

\[ \theta = 1{,}8 \pi + \frac{\pi}{6} = \left(1{,}8 + \frac{1}{6}\right) \pi \]

Приведем к общему знаменателю 6:

\[ 1{,}8 = \frac{9}{5} = \frac{54}{30}, \quad \frac{\pi}{6} = \frac{5}{30} \pi \]

или лучше прямо так:

\[ 1.8 \pi = \frac{9}{5} \pi \]

Общий аргумент:

\[ \theta = \frac{9}{5} \pi + \frac{1}{6} \pi \]

Общий знаменатель — 30:

\[ \theta = \left(\frac{54}{30} + \frac{5}{30}\right) \pi = \frac{59}{30} \pi \]

Теперь вычислим:

\[ x(0,3) = 1,2 \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) \]

Заметим, что \( \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) \) — это кусок более сложный, но воспользуемся свойствами косинуса:

\[ \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) = \cos \left( 2 \pi + \frac{59}{30}\pi - 2\pi \right) \]

Поскольку \( \cos (\theta + 2\pi) = \cos \theta \), то:

\[ \cos \left( \frac{59}{30} \pi \right) = \cos \left( \left( \frac{59}{30} - 2 \right) \pi \right) \]

Выясним:

\[ 2 = \frac{60}{30} \]

Тогда:

\[ \frac{59}{30} - 2 = \frac{59}{30} - \frac{60}{30} = - \frac{1}{30} \]

Итак,

\[ x(0,3) = 1,2 \cos \left( -\frac{1}{30} \pi \right ) = 1,2 \cos \left( \frac{\pi}{30} \right) \]

Обозначим: \(\cos \left( \frac{\pi}{30} \right)\) — приближенно:

\[ \cos \left( \frac{\pi}{30} \right) \approx \cos(6^\circ) \approx 0,9945 \]

Тогда:

\[ x(0,3) \approx 1,2 \times 0,9945 \approx 1,193\, \text{м} \]

---

7. Скорость (\(v(t)\))

Общая формула скорости при гармоническом движении:

\[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \]

Подставляем \( t = 0,3 \, \text{с}\):

\[ v(0,3) = -1,2 \times 6 \pi \times \sin \left( \frac{59}{30}\pi \right) \]

Обратим внимание, что:

\[ \sin \left( \frac{59}{30}\pi \right ) = \sin \left( \left( 2\pi - \frac{1}{30}\pi \right) \right) = - \sin \left( \frac{\pi}{30} \right) \approx -0,1045 \]

или проще:

\[ \sin \left( \frac{59}{30}\pi \right) = \sin \left( - \frac{\pi}{30} \right) \approx -0,1045 \]

Следовательно:

\[ v(0,3) \approx -1,2 \times 6 \pi \times (-0,1045) \approx 1,2 \times 6 \pi \times 0,1045 \]

Вычисляем:

\[ 6 \pi \approx 18,85 \]

Тогда:

\[ v(0,3) \approx 1,2 \times 18,85 \times 0,1045 \approx 1,2 \times 1,97 \approx 2,36\, \text{м/с} \]

---

8. Ускорение (\(a(t)\))

Формула ускорения:

\[ a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) \]

Подставляем:

\[ a(0,3) = -1,2 \times (6 \pi)^2 \times \cos \left( \frac{59}{30}\pi \right) \]

\(\cos \left( \frac{59}{30}\pi \right) \approx 0,9945\)

Вычисляем \( (6 \pi)^2 = (18,85)^2 \approx 355\):

\[ a(0,3) \approx -1,2 \times 355 \times 0,9945 \approx -1,2 \times 354 \approx -425\, \text{м/с}^2 \]

Знак «минус» говорит о направлении, противоположном отклонению.

---

9. Кинетическая энергия (\(E_k\))

Кинетическая энергия определяется как:

\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]

Подставляем:

\[ E_k \approx \frac{1}{2} \times 3000 \times (2,36)^2 \]

Вычисляем:

\[ (2,36)^2 \approx 5,57 \]

Поэтому:

\[ E_k \approx 1500 \times 5,57 \approx 8355\, \text{Дж} \]

---

10. Сила (\(F\)), действующая на тело

Сила равна:

\[ F = m a \]

Подставляем:

\[ F \approx 3000 \times (-425) \approx -1\,275\,000\, \text{Н} \]

Знак «минус» говорит о том, что сила направлена противоположно движению (восходящая).

---

Итоги:

Параметр	Значение
Амплитуда \(A\)	1,2 м
Круговая частота \(\omega\)	\(6 \pi \approx 18,85\) рад/с
Частота \(f\)	3 Гц
Период \(T\)	около 0,333 с
Фаза \(\phi\)	\(\pi/6\)
Координата \(x(0,3)\)	примерно 1,193 м
Скорость \(v(0,3)\)	около 2,36 м/с
Ускорение \(a(0,3)\)	примерно -425 м/с²
Кинетическая энергия \(E_k\)	около 8355 Дж
Сила \(F\)	около -1,28 МН

Если есть еще вопросы — обращайтесь!