S3√(4x+8)^2 dx

Конечно! Давайте подробно разберем задачу: найти интеграл: \[ \int S3 \sqrt{(4x+8)^2} \, dx \] Перед началом важно понять, что здесь, скорее всего, есть опечатка или лишние символы, поэтому я предположу, что задача звучит как: \[ \int 3 \sqrt{(4x+8)^2} \, dx \] или, что эквивалентно, ищем интеграл: \[ \int 3 \sqrt{(4x+8)^2} \, dx \] ### Шаг 1: Упростим выражение под корнем Поскольку под корнем стоит квадрат выражения, мы можем упростить: \[ \sqrt{(4x+8)^2} = |4x + 8| \] Итак, интеграл становится: \[ \int 3 |4x + 8| \, dx \] ### Шаг 2: Разобьём задачу по интервалам Поскольку абсолютное значение зависит от знака выражения \(4x + 8\), поискемо точки, где выражение равно нулю: \[ 4x + 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \] Таким образом: - при \(x > -2\): \(4x + 8 > 0\), и \(|4x + 8| = 4x + 8\) - при \(x < -2\): \(4x + 8 < 0\), и \(|4x + 8| = -(4x + 8) = -4x - 8\) ### Шаг 3: Решение для каждого интервала #### Для \(x > -2\): Интеграл: \[ \int 3 (4x + 8) \, dx \] Рассчитаем его: \[ = 3 \int (4x + 8) \, dx \] Внутри интеграла: \[ \int (4x + 8) \, dx = 4 \int x \, dx + 8 \int 1 \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 8x = 2x^2 + 8x \] Тогда, с учетом множителя 3: \[ 3 \times (2x^2 + 8x) = 6x^2 + 24x \] Общий вид для области \(x > -2\): \[ \boxed{F(x) = 6x^2 + 24x + C} \] --- #### Для \(x < -2\): Интеграл: \[ \int 3 (-4x - 8) \, dx \] Рассчитаем: \[ = 3 \int (-4x - 8) \, dx \] Внутри интеграла: \[ \int (-4x - 8) \, dx = -4 \int x \, dx - 8 \int 1 \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} - 8x = -2x^2 - 8x \] Теперь умножим на 3: \[ 3 \times (-2x^2 - 8x) = -6x^2 - 24x \] Общий вид для области \(x < -2\): \[ \boxed{F(x) = -6x^2 - 24x + C} \] --- ### Итоговое решение: \[ \int 3 |4x + 8| \, dx = \begin{cases} -6x^2 - 24x + C, & x < -2 \\ 6x^2 + 24x + C, & x > -2 \end{cases} \] Если нужно, можно также выразить решение в виде одного общего уравнения с условием, например, через знак или функцию ступени, но обычно так удобнее. Если есть вопрос или нужно что-то уточнить — скажите!