S3√(4x+8)^2 dx
Конечно! Давайте подробно разберем задачу: найти интеграл:
\[ \int S3 \sqrt{(4x+8)^2} \, dx \]
Перед началом важно понять, что здесь, скорее всего, есть опечатка или лишние символы, поэтому я предположу, что задача звучит как:
\[ \int 3 \sqrt{(4x+8)^2} \, dx \]
или, что эквивалентно, ищем интеграл:
\[ \int 3 \sqrt{(4x+8)^2} \, dx \]
Шаг 1: Упростим выражение под корнем
Поскольку под корнем стоит квадрат выражения, мы можем упростить:
\[ \sqrt{(4x+8)^2} = |4x + 8| \]
Итак, интеграл становится:
\[ \int 3 |4x + 8| \, dx \]
Шаг 2: Разобьём задачу по интервалам
Поскольку абсолютное значение зависит от знака выражения \(4x + 8\), поискемо точки, где выражение равно нулю:
\[ 4x + 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Таким образом:
- при \(x > -2\): \(4x + 8 > 0\), и \(|4x + 8| = 4x + 8\)
- при \(x < -2\): \(4x + 8 < 0\), и \(|4x + 8| = -(4x + 8) = -4x - 8\)
Шаг 3: Решение для каждого интервала
Для \(x > -2\):
Интеграл:
\[ \int 3 (4x + 8) \, dx \]
Рассчитаем его:
\[ = 3 \int (4x + 8) \, dx \]
Внутри интеграла:
\[ \int (4x + 8) \, dx = 4 \int x \, dx + 8 \int 1 \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 8x = 2x^2 + 8x \]
Тогда, с учетом множителя 3:
\[ 3 \times (2x^2 + 8x) = 6x^2 + 24x \]
Общий вид для области \(x > -2\):
\[ \boxed{F(x) = 6x^2 + 24x + C} \]
Для \(x < -2\):
Интеграл:
\[ \int 3 (-4x - 8) \, dx \]
Рассчитаем:
\[ = 3 \int (-4x - 8) \, dx \]
Внутри интеграла:
\[ \int (-4x - 8) \, dx = -4 \int x \, dx - 8 \int 1 \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} - 8x = -2x^2 - 8x \]
Теперь умножим на 3:
\[ 3 \times (-2x^2 - 8x) = -6x^2 - 24x \]
Общий вид для области \(x < -2\):
\[ \boxed{F(x) = -6x^2 - 24x + C} \]
Итоговое решение:
\[ \int 3 |4x + 8| \, dx = \begin{cases} -6x^2 - 24x + C, & x < -2 \\ 6x^2 + 24x + C, & x > -2 \end{cases} \]
Если нужно, можно также выразить решение в виде одного общего уравнения с условием, например, через знак или функцию ступени, но обычно так удобнее.
Если есть вопрос или нужно что-то уточнить — скажите!
