Найдите определитель A=27*(C*Bt+D*Ct)-8*B*D, если B=[12 27, 51 39] C=[-11 19, - 56 61] D=[24 -57, 73 45]

Давайте решим задачу пошагово и подробно. Задача: найти определитель матрицы A = 27*(C*Bt + D*Ct) - 8*B*D, где даны матрицы: \[ B = \begin{bmatrix} 12 & 27 \\ 51 & 39 \end{bmatrix} \] \[ C = \begin{bmatrix} -11 & 19 \\ -56 & 61 \end{bmatrix} \] \[ D = \begin{bmatrix} 24 & -57 \\ 73 & 45 \end{bmatrix} \] Обратите внимание: в условии есть обозначения, похожие на транспонирование. Предположим, что: - \( Bt \) — это транспонирование матрицы B: \( B^T \) - \( Ct \) — транспонирование матрицы C: \( C^T \) Перепишем формулу: \[ A = 27 \times (C \times B^T + D \times C^T) - 8 \times B \times D \] — это матрица сложения и умножения. Далее пошагово: --- ### Шаг 1. Найти транспонирование матриц \( B^T \) и \( C^T \). \[ B^T = \begin{bmatrix} 12 & 51 \\ 27 & 39 \end{bmatrix} \] \[ C^T = \begin{bmatrix} -11 & -56 \\ 19 & 61 \end{bmatrix} \] --- ### Шаг 2. Найти произведения матриц \( C \times B^T \) и \( D \times C^T \). #### 2.1 Вычислим \( C \times B^T \): \[ C = \begin{bmatrix} -11 & 19 \\ -56 & 61 \end{bmatrix} \] \[ B^T = \begin{bmatrix} 12 & 51 \\ 27 & 39 \end{bmatrix} \] Произведение: \[ C \times B^T = \begin{bmatrix} (-11) \times 12 + 19 \times 27 & (-11) \times 51 + 19 \times 39 \\ (-56) \times 12 + 61 \times 27 & (-56) \times 51 + 61 \times 39 \end{bmatrix} \] Вычислим поэлементно: - Первый элемент \((1,1)\): \[ -11 \times 12 + 19 \times 27 = -132 + 513 = 381 \] - Второй элемент \((1,2)\): \[ -11 \times 51 + 19 \times 39 = -561 + 741 = 180 \] - Третий элемент \((2,1)\): \[ -56 \times 12 + 61 \times 27 = -672 + 1647 = 975 \] - Четвертый элемент \((2,2)\): \[ -56 \times 51 + 61 \times 39 = -2856 + 2379 = -477 \] Итак, \[ C \times B^T = \begin{bmatrix} 381 & 180 \\ 975 & -477 \end{bmatrix} \] --- #### 2.2 Вычислим \( D \times C^T \): \[ D = \begin{bmatrix} 24 & -57 \\ 73 & 45 \end{bmatrix} \] \[ C^T = \begin{bmatrix} -11 & -56 \\ 19 & 61 \end{bmatrix} \] Произведение: \[ D \times C^T = \begin{bmatrix} 24 \times (-11) + (-57) \times 19 & 24 \times (-56) + (-57) \times 61 \\ 73 \times (-11) + 45 \times 19 & 73 \times (-56) + 45 \times 61 \end{bmatrix} \] Вычислимо поэлементно: - \((1,1)\): \[ 24 \times (-11) + (-57) \times 19 = -264 - 1083 = -1347 \] - \((1,2)\): \[ 24 \times (-56) + (-57) \times 61 = -1344 - 3477 = -4821 \] - \((2,1)\): \[ 73 \times (-11) + 45 \times 19 = -803 + 855 = 52 \] - \((2,2)\): \[ 73 \times (-56) + 45 \times 61 = -4088 + 2745 = -1343 \] Итак, \[ D \times C^T = \begin{bmatrix} -1347 & -4821 \\ 52 & -1343 \end{bmatrix} \] --- ### Шаг 3. Вычислить \( C \times B^T + D \times C^T \): \[ \begin{bmatrix} 381 & 180 \\ 975 & -477 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1347 & -4821 \\ 52 & -1343 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 381 - 1347 & 180 - 4821 \\ 975 + 52 & -477 - 1343 \end{bmatrix} \] Рассчитаем: - \((1,1)\): \(381 - 1347 = -966\) - \((1,2)\): \(180 - 4821 = -4641\) - \((2,1)\): \(975 + 52 = 1027\) - \((2,2)\): \(-477 - 1343 = -1820\) Итак, \[ C \times B^T + D \times C^T = \begin{bmatrix} -966 & -4641 \\ 1027 & -1820 \end{bmatrix} \] --- ### Шаг 4. Умножить полученную матрицу на 27: \[ 27 \times \begin{bmatrix} -966 & -4641 \\ 1027 & -1820 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 \times -966 & 27 \times -4641 \\ 27 \times 1027 & 27 \times -1820 \end{bmatrix} \] Вычислим: - \((1,1)\): \(-966 \times 27 = -26142\) - \((1,2)\): \(-4641 \times 27 = -125247\) - \((2,1)\): \(1027 \times 27 = 27729\) - \((2,2)\): \(-1820 \times 27 = -49140\) Итоговая матрица \(27 \times (C B^T + D C^T) \): \[ \begin{bmatrix} -26142 & -125247 \\ 27729 & -49140 \end{bmatrix} \] --- ### Шаг 5. Вычислим \( B \times D \): \[ B = \begin{bmatrix} 12 & 27 \\ 51 & 39 \end{bmatrix} \] \[ D = \begin{bmatrix} 24 & -57 \\ 73 & 45 \end{bmatrix} \] Произведение: \[ B \times D = \begin{bmatrix} 12 \times 24 + 27 \times 73 & 12 \times -57 + 27 \times 45 \\ 51 \times 24 + 39 \times 73 & 51 \times -57 + 39 \times 45 \end{bmatrix} \] Вычислим: - \((1,1)\): \[ 12 \times 24 + 27 \times 73 = 288 + 1971 = 2259 \] - \((1,2)\): \[ 12 \times -57 + 27 \times 45 = -684 + 1215 = 531 \] - \((2,1)\): \[ 51 \times 24 + 39 \times 73 = 1224 + 2847 = 4071 \] - \((2,2)\): \[ 51 \times -57 + 39 \times 45 = -2907 + 1755 = -1152 \] Получаем: \[ B \times D = \begin{bmatrix} 2259 & 531 \\ 4071 & -1152 \end{bmatrix} \] --- ### Шаг 6. Умножим на 8 и вычтем: \[ 8 \times B \times D = \begin{bmatrix} 8 \times 2259 & 8 \times 531 \\ 8 \times 4071 & 8 \times -1152 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18072 & 4248 \\ 32568 & -9216 \end{bmatrix} \] --- ### Шаг 7. Вычесть полученные матрицы: \[ A = 27 (C B^T + D C^T) - 8 B D \] \[ A = \begin{bmatrix} -26142 & -125247 \\ 27729 & -49140 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 18072 & 4248 \\ 32568 & -9216 \end{bmatrix} \] Посчитаем поэлементно: - \((1,1)\): \(-26142 - 18072 = -44214\) - \((1,2)\): \(-125247 - 4248 = -129495\) - \((2,1)\): \(27729 - 32568 = -4839\) - \((2,2)\): \(-49140 - (-9216) = -49140 + 9216 = -39924\) Итак, итоговая матрица: \[ A = \begin{bmatrix} -44214 & -129495 \\ -4839 & -39924 \end{bmatrix} \] --- ### Шаг 8. Найдём определитель матрицы \(A\): \[ \det(A) = (-44214) \times (-39924) - (-129495) \times (-4839) \] Вычислим поэлементно: - \( -44214 \times -39924 = 44214 \times 39924 \) (отрицательных знаков произойдет, но минус и минус дают плюс): Вычислим \(44214 \times 39924\): Упростим: \[ 44214 \times 39924 = 44214 \times (40000 - 76) = 44214 \times 40000 - 44214 \times 76 \] Расчет: - \(44214 \times 40000 = 1\,768\,560\,000\) - \(44214 \times 76\): Разложим: \[ 44214 \times 76 = 44214 \times (70 + 6) = 44214 \times 70 + 44214 \times 6 \] - \(44214 \times 70 = 3\,095\,980\) - \(44214 \times 6 = 265,284\) Сумма: \[ 3\,095\,980 + 265,284 = 3\,361\,264 \] Теперь: \[ 44214 \times 39924 = 1\,768\,560\,000 - 3\,361\,264 = 1\,765\,198\,736 \] Перейдём к следующему члену: \[ (-129495) \times (-4839) = 129,495 \times 4,839 \] Так как оба числа положительны, результат — положительный: Упростим: \[ 129,495 \times 4,839 \] Разложим: \[ 129,495 \times 4,839 = 129,495 \times (4,800 + 39) \] - \(129,495 \times 4,800\): \[ 129,495 \times 4,800 = 129,495 \times 4,800 = (129,495 \times 48) \times 100 \] Рассчитаем \(129,495 \times 48\): \[ 129,495 \times 48 = 129,495 \times (50 - 2) = 129,495 \times 50 - 129,495 \times 2 \] \[ = 6\,474\,750 - 258,990 = 6\,215\,760 \] Тогда: \[ 129,495 \times 4,800 = 6\,215\,760 \times 100 = 621\,576,000 \] Теперь добавим \(129,495 \times 39\): \[ 129,495 \times 39 = 129,495 \times (40 - 1) = 129,495 \times 40 - 129,495 \times 1 \] \[ = 5\,179\,800 - 129,495 = 5\,050\,305 \] Общая сумма: \[ 621\,576,000 + 5\,050,305 = 626\,626,305 \] Итак, \[ \det A = 1,765,198,736 - 626,626,305 = 1,138,572,431 \] --- ### Итог: **Ответ:** \[ \boxed{1\,138\,572\,431} \] --- Если есть дополнения или нужно пояснение по какому-то шагу — спрашивайте!