Найдите определитель A=27(CBt+DCt)-8B*D, если B=[12 27, 51 39] C=[-11 19, - 56 61] D=[24 -57, 73 45]

Question

Задача Задача №3170881

А

Аноним

05 мая 2025 10:11 · публичный вопрос

А

Аноним 05 мая 2025 10:11

Найдите определитель A=27(CBt+DCt)-8B*D, если B=[12 27, 51 39] C=[-11 19, - 56 61] D=[24 -57, 73 45]

Ответ нейросети

05 мая 2025 10:11

Давайте решим задачу пошагово и подробно.

Задача: найти определитель матрицы A = 27*(CBt + DCt) - 8BD, где даны матрицы:

\[ B = \begin{bmatrix} 12 & 27 \\ 51 & 39 \end{bmatrix} \] \[ C = \begin{bmatrix} -11 & 19 \\ -56 & 61 \end{bmatrix} \] \[ D = \begin{bmatrix} 24 & -57 \\ 73 & 45 \end{bmatrix} \]

Обратите внимание: в условии есть обозначения, похожие на транспонирование. Предположим, что:

\( Bt \) — это транспонирование матрицы B: \( B^T \)
\( Ct \) — транспонирование матрицы C: \( C^T \)

Перепишем формулу:

\[ A = 27 \times (C \times B^T + D \times C^T) - 8 \times B \times D \]

— это матрица сложения и умножения. Далее пошагово:

Шаг 1. Найти транспонирование матриц \( B^T \) и \( C^T \).

\[ B^T = \begin{bmatrix} 12 & 51 \\ 27 & 39 \end{bmatrix} \] \[ C^T = \begin{bmatrix} -11 & -56 \\ 19 & 61 \end{bmatrix} \]

Шаг 2. Найти произведения матриц \( C \times B^T \) и \( D \times C^T \).

2.1 Вычислим \( C \times B^T \):

\[ C = \begin{bmatrix} -11 & 19 \\ -56 & 61 \end{bmatrix} \] \[ B^T = \begin{bmatrix} 12 & 51 \\ 27 & 39 \end{bmatrix} \]

Произведение:

\[ C \times B^T = \begin{bmatrix} (-11) \times 12 + 19 \times 27 & (-11) \times 51 + 19 \times 39 \\ (-56) \times 12 + 61 \times 27 & (-56) \times 51 + 61 \times 39 \end{bmatrix} \]

Вычислим поэлементно:

Первый элемент \((1,1)\): \[ -11 \times 12 + 19 \times 27 = -132 + 513 = 381 \]
Второй элемент \((1,2)\): \[ -11 \times 51 + 19 \times 39 = -561 + 741 = 180 \]
Третий элемент \((2,1)\): \[ -56 \times 12 + 61 \times 27 = -672 + 1647 = 975 \]
Четвертый элемент \((2,2)\): \[ -56 \times 51 + 61 \times 39 = -2856 + 2379 = -477 \]

Итак,

\[ C \times B^T = \begin{bmatrix} 381 & 180 \\ 975 & -477 \end{bmatrix} \]

2.2 Вычислим \( D \times C^T \):

\[ D = \begin{bmatrix} 24 & -57 \\ 73 & 45 \end{bmatrix} \] \[ C^T = \begin{bmatrix} -11 & -56 \\ 19 & 61 \end{bmatrix} \]

Произведение:

\[ D \times C^T = \begin{bmatrix} 24 \times (-11) + (-57) \times 19 & 24 \times (-56) + (-57) \times 61 \\ 73 \times (-11) + 45 \times 19 & 73 \times (-56) + 45 \times 61 \end{bmatrix} \]

Вычислимо поэлементно:

\((1,1)\): \[ 24 \times (-11) + (-57) \times 19 = -264 - 1083 = -1347 \]
\((1,2)\): \[ 24 \times (-56) + (-57) \times 61 = -1344 - 3477 = -4821 \]
\((2,1)\): \[ 73 \times (-11) + 45 \times 19 = -803 + 855 = 52 \]
\((2,2)\): \[ 73 \times (-56) + 45 \times 61 = -4088 + 2745 = -1343 \]

Итак,

\[ D \times C^T = \begin{bmatrix} -1347 & -4821 \\ 52 & -1343 \end{bmatrix} \]

Шаг 3. Вычислить \( C \times B^T + D \times C^T \):

\[ \begin{bmatrix} 381 & 180 \\ 975 & -477 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1347 & -4821 \\ 52 & -1343 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 381 - 1347 & 180 - 4821 \\ 975 + 52 & -477 - 1343 \end{bmatrix} \]

Рассчитаем:

\((1,1)\): \(381 - 1347 = -966\)
\((1,2)\): \(180 - 4821 = -4641\)
\((2,1)\): \(975 + 52 = 1027\)
\((2,2)\): \(-477 - 1343 = -1820\)

Итак,

\[ C \times B^T + D \times C^T = \begin{bmatrix} -966 & -4641 \\ 1027 & -1820 \end{bmatrix} \]

Шаг 4. Умножить полученную матрицу на 27:

\[ 27 \times \begin{bmatrix} -966 & -4641 \\ 1027 & -1820 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 \times -966 & 27 \times -4641 \\ 27 \times 1027 & 27 \times -1820 \end{bmatrix} \]

Вычислим:

\((1,1)\): \(-966 \times 27 = -26142\)
\((1,2)\): \(-4641 \times 27 = -125247\)
\((2,1)\): \(1027 \times 27 = 27729\)
\((2,2)\): \(-1820 \times 27 = -49140\)

Итоговая матрица \(27 \times (C B^T + D C^T) \):

\[ \begin{bmatrix} -26142 & -125247 \\ 27729 & -49140 \end{bmatrix} \]

Шаг 5. Вычислим \( B \times D \):

\[ B = \begin{bmatrix} 12 & 27 \\ 51 & 39 \end{bmatrix} \] \[ D = \begin{bmatrix} 24 & -57 \\ 73 & 45 \end{bmatrix} \]

Произведение:

\[ B \times D = \begin{bmatrix} 12 \times 24 + 27 \times 73 & 12 \times -57 + 27 \times 45 \\ 51 \times 24 + 39 \times 73 & 51 \times -57 + 39 \times 45 \end{bmatrix} \]

Вычислим:

\((1,1)\): \[ 12 \times 24 + 27 \times 73 = 288 + 1971 = 2259 \]
\((1,2)\): \[ 12 \times -57 + 27 \times 45 = -684 + 1215 = 531 \]
\((2,1)\): \[ 51 \times 24 + 39 \times 73 = 1224 + 2847 = 4071 \]
\((2,2)\): \[ 51 \times -57 + 39 \times 45 = -2907 + 1755 = -1152 \]

Получаем:

\[ B \times D = \begin{bmatrix} 2259 & 531 \\ 4071 & -1152 \end{bmatrix} \]

Шаг 6. Умножим на 8 и вычтем:

\[ 8 \times B \times D = \begin{bmatrix} 8 \times 2259 & 8 \times 531 \\ 8 \times 4071 & 8 \times -1152 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18072 & 4248 \\ 32568 & -9216 \end{bmatrix} \]

Шаг 7. Вычесть полученные матрицы:

\[ A = 27 (C B^T + D C^T) - 8 B D \]

\[ A = \begin{bmatrix} -26142 & -125247 \\ 27729 & -49140 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 18072 & 4248 \\ 32568 & -9216 \end{bmatrix} \]

Посчитаем поэлементно:

\((1,1)\): \(-26142 - 18072 = -44214\)
\((1,2)\): \(-125247 - 4248 = -129495\)
\((2,1)\): \(27729 - 32568 = -4839\)
\((2,2)\): \(-49140 - (-9216) = -49140 + 9216 = -39924\)

Итак, итоговая матрица:

\[ A = \begin{bmatrix} -44214 & -129495 \\ -4839 & -39924 \end{bmatrix} \]

Шаг 8. Найдём определитель матрицы \(A\):

\[ \det(A) = (-44214) \times (-39924) - (-129495) \times (-4839) \]

Вычислим поэлементно:

\( -44214 \times -39924 = 44214 \times 39924 \) (отрицательных знаков произойдет, но минус и минус дают плюс):

Вычислим \(44214 \times 39924\):

Упростим:

\[ 44214 \times 39924 = 44214 \times (40000 - 76) = 44214 \times 40000 - 44214 \times 76 \]

Расчет:

\(44214 \times 40000 = 1\,768\,560\,000\)
\(44214 \times 76\):

Разложим:

\[ 44214 \times 76 = 44214 \times (70 + 6) = 44214 \times 70 + 44214 \times 6 \]

\(44214 \times 70 = 3\,095\,980\)
\(44214 \times 6 = 265,284\)

Сумма:

\[ 3\,095\,980 + 265,284 = 3\,361\,264 \]

Теперь:

\[ 44214 \times 39924 = 1\,768\,560\,000 - 3\,361\,264 = 1\,765\,198\,736 \]

Перейдём к следующему члену:

\[ (-129495) \times (-4839) = 129,495 \times 4,839 \]

Так как оба числа положительны, результат — положительный:

Упростим:

\[ 129,495 \times 4,839 \]

Разложим:

\[ 129,495 \times 4,839 = 129,495 \times (4,800 + 39) \]

\(129,495 \times 4,800\):

\[ 129,495 \times 4,800 = 129,495 \times 4,800 = (129,495 \times 48) \times 100 \]

Рассчитаем \(129,495 \times 48\):

\[ 129,495 \times 48 = 129,495 \times (50 - 2) = 129,495 \times 50 - 129,495 \times 2 \] \[ = 6\,474\,750 - 258,990 = 6\,215\,760 \]

Тогда:

\[ 129,495 \times 4,800 = 6\,215\,760 \times 100 = 621\,576,000 \]

Теперь добавим \(129,495 \times 39\):

\[ 129,495 \times 39 = 129,495 \times (40 - 1) = 129,495 \times 40 - 129,495 \times 1 \] \[ = 5\,179\,800 - 129,495 = 5\,050\,305 \]

Общая сумма:

\[ 621\,576,000 + 5\,050,305 = 626\,626,305 \]

Итак,

\[ \det A = 1,765,198,736 - 626,626,305 = 1,138,572,431 \]

Итог:

Ответ:

\[ \boxed{1\,138\,572\,431} \]

Если есть дополнения или нужно пояснение по какому-то шагу — спрашивайте!

Найдите определитель A=27*(C*Bt+D*Ct)-8*B*D, если B=[12 27, 51 39] C=[-11 19, - 56 61] D=[24 -57, 73 45]

Шаг 1. Найти транспонирование матриц \( B^T \) и \( C^T \).

Шаг 2. Найти произведения матриц \( C \times B^T \) и \( D \times C^T \).

2.1 Вычислим \( C \times B^T \):

2.2 Вычислим \( D \times C^T \):

Шаг 3. Вычислить \( C \times B^T + D \times C^T \):

Шаг 4. Умножить полученную матрицу на 27:

Шаг 5. Вычислим \( B \times D \):

Шаг 6. Умножим на 8 и вычтем:

Шаг 7. Вычесть полученные матрицы:

Шаг 8. Найдём определитель матрицы \(A\):

Итог:

Найдите определитель A=27(CBt+DCt)-8B*D, если B=[12 27, 51 39] C=[-11 19, - 56 61] D=[24 -57, 73 45]